Question

16．設(shè)a，b，c∈R⁺，且a+b+c=3，證明：$\frac{{a}^{4}}{^{2}+c}$+$\frac{^{4}}{{c}^{2}+a}$+$\frac{{c}^{4}}{{a}^{2}+b}$≥$\frac{3}{2}$．

Answer 1

分析 利用基本不等式，即可證明結(jié)論．

解答 證明：∵$\frac{{a}^{4}}{^{2}+c}$+b²+c≥2a²，$\frac{^{4}}{{c}^{2}+a}$+c²+a≥2b²，$\frac{{c}^{4}}{{a}^{2}+b}$+a²+b≥2c²，
相加，移項可得$\frac{{a}^{4}}{^{2}+c}$+$\frac{^{4}}{{c}^{2}+a}$+$\frac{{c}^{4}}{{a}^{2}+b}$≥（a²+b²+c²）-（a+b+c），
∵a+b+c=3，a²+b²+c²≥$\frac{1}{2}$（a+b+c）²，
∴$\frac{{a}^{4}}{^{2}+c}$+$\frac{^{4}}{{c}^{2}+a}$+$\frac{{c}^{4}}{{a}^{2}+b}$≥$\frac{3}{2}$（a=b=c時取等號）．

點評 本題考查不等式的證明，考查基本不等式的運用，正確運用基本不等式是關(guān)鍵．