Question

7．已知$\overrightarrow{m}$=（sinωx，cosωx），$\overrightarrow{n}$=（cosωx，cosωx）其中ω＞0，若函數(shù)f（x）=$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$-$\frac{1}{2}$的圖象上相鄰兩對稱軸間得距離為2π
（1）求方程f（x）-$\frac{\sqrt{6}}{4}$=0在區(qū)間[0，17]內(nèi)的解；
（2）若$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=$\frac{1}{2}$+$\frac{\sqrt{2}}{4}$，求sinx；
（3）在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對邊，且滿足（2a-c）cosB=bcosC，求函數(shù)f（A）的值域．

Answer 1

分析 （1）由數(shù)量積的坐標(biāo)表示結(jié)合倍角公式、兩角和的正弦化簡f（x）的解析式，再由已知求得ω，最后求解三角方程得答案；
（2）由$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=$\frac{1}{2}$+$\frac{\sqrt{2}}{4}$，得$sin（\frac{x}{2}+\frac{π}{4}）=\frac{1}{2}$，進(jìn)一步得$1-2si{n}^{2}（\frac{x}{2}+\frac{π}{4}）=\frac{1}{2}$，轉(zhuǎn)化為倍角的余弦求解；
（3）由已知等式結(jié)合正弦定理求得B，由三角形內(nèi)角和定理得到A的范圍，則函數(shù)f（A）的值域可求．

解答 解：（1）$f（x）=\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}-\frac{1}{2}=sinωxcosωx+co{s}^{2}ωx-\frac{1}{2}$
=$\frac{1}{2}sin2ωx+\frac{1}{2}cos2ωx=\frac{\sqrt{2}}{2}sin（2ωx+\frac{π}{4}）$，
∵函數(shù)f（x）的圖象上相鄰兩對稱軸間得距離為2π，
∴$\frac{T}{2}=2π$，T=$\frac{2π}{2ω}$，得$ω=\frac{1}{4}$，
∴f（x）=$\frac{\sqrt{2}}{2}sin（\frac{x}{2}+\frac{π}{4}）$，
由f（x）-$\frac{\sqrt{6}}{4}$=0，得$\frac{\sqrt{2}}{2}sin（\frac{x}{2}+\frac{π}{4}）$=$\frac{\sqrt{6}}{4}$，
即$sin（\frac{x}{2}+\frac{π}{4}）=\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴$\frac{x}{2}+\frac{π}{4}=\frac{π}{3}+2kπ$，或$\frac{x}{2}+\frac{π}{4}=\frac{2π}{3}+2kπ，k∈Z$．
在區(qū)間[0，17]內(nèi)的解為$\frac{π}{6}，\frac{5π}{6}，\frac{25π}{6}，\frac{29π}{6}$；
（2）若$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=$\frac{1}{2}$+$\frac{\sqrt{2}}{4}$，則$sin（\frac{x}{2}+\frac{π}{4}）=\frac{1}{2}$，
得$1-2si{n}^{2}（\frac{x}{2}+\frac{π}{4}）=\frac{1}{2}$，
∴cos（x+$\frac{π}{2}$）=$\frac{1}{2}$，
得sinx=$-\frac{1}{2}$；
（3）∵（2a-c）cosB=bcosC，
∴由正弦定理得cosB=$\frac{1}{2}$，則B=$\frac{π}{3}$，
∴A∈（0，$\frac{2π}{3}$），則$\frac{A}{2}+\frac{π}{4}∈（\frac{π}{4}，\frac{7π}{12}）$，
故函數(shù)f（A）的值域為（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$]．

點評 本題考查三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用，考查了平面向量的數(shù)量積運算，考查余弦定理在解三角形中的應(yīng)用，是中檔題．