Question

6．設(shè)函數(shù)f（x）=lnx+x²+ax，x=1是函數(shù)f（x）的極值點(diǎn)．
（1）求實(shí)數(shù)a的值，并求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）設(shè)函數(shù)g（x）=f（x）-x²+3x，求證：當(dāng)x≥2時，g（x）＜$\frac{1}{4}$（x²-1）；
（3）在（2）的條件下，求證：對n∈N^*，$\sum_{k=2}^{n+1}$$\frac{1}{g（k）}$＞$\frac{3{n}^{2}+5n}{（n+1）（n+2）}$．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，得到f′（1）=0，解得a，從而求出f（x）的單調(diào)區(qū)間即可；
（2）求出g（x），構(gòu)造函數(shù)h（x），通過求導(dǎo)得到h（x）的單調(diào)性，求出h（x）的最大值，從而證出結(jié)論；
（3）先求出$\frac{1}{lnx}$＞2（$\frac{1}{x-1}$-$\frac{1}{x+1}$），求和即可．

解答 解：（1）f′（x）=$\frac{1}{x}$+2x+a，…（1分）
f′（1）=1+2+a=0，解得：a=-3，
∴f（x）=lnx+x²-3x        …（3分）
由f′（x）=$\frac{{2x}^{2}-3x+1}{x}$≤0，且x＞0得：原函數(shù)減區(qū)間為[$\frac{1}{2}$，1]；…（5分）
（2）g（x）=lnx+x²-3x-x²+3x=lnx，構(gòu)造函數(shù)h（x）=4lnx-x²+1 …（6分）
當(dāng)x≥2時，h′（x）=-$\frac{{2（x}^{2}-2）}{x}$＜0 …（7分）
所以函數(shù)h（x）=4lnx-x²+1在區(qū)間[2，+∞）單調(diào)遞減，…（8分）
故h（x）_max=4ln2-3=ln16-lne³＜0，不等式成立；…（9分）
（3）由（2）知：當(dāng)x≥2時，lnx＜$\frac{1}{4}$（x²-1），…（10分）
所以$\frac{1}{lnx}$＞$\frac{4}{{x}^{2}-1}$=2（$\frac{1}{x-1}$-$\frac{1}{x+1}$），
即當(dāng)k≥2時，$\frac{1}{g（k）}$＞2（$\frac{1}{x-1}$-$\frac{1}{x+1}$），…（12分）
當(dāng)n≥2時：$\sum_{k=2}^{n+1}{\frac{1}{g（k）}}=\frac{1}{ln2}+\frac{1}{ln3}+…+\frac{1}{{ln（{n+1}）}}＞2（{1+\frac{1}{2}-\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}}）=\frac{{3{n^2}+5n}}{{（{n+1}）（{n+2}）}}$，
又當(dāng)n=1時上式也能成立，
原命題得證．…（14分）

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及不等式的證明，是一道綜合題．