Question

9．在直角坐標(biāo)系xOy中，以O(shè)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立直角坐標(biāo)系，曲線C₁的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=2cosα+\sqrt{3}\\ y=2sinα+1\end{array}$（α為參數(shù)），曲線C₂的極坐標(biāo)方程為ρ=2cosθ．
（Ⅰ）求曲線C₁的極坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）若射線θ=$\frac{π}{6}$（ρ≥0）交曲線C₁和C₂于A、B（A、B異于原點(diǎn)），求|AB|．

Answer 1

分析 （Ⅰ） 由$\left\{\begin{array}{l}x=2cosα+\sqrt{3}\\ y=2sinα+1\end{array}\right.$，變形為$\left\{\begin{array}{l}x-\sqrt{3}=2cosα\\ y-1=2sinα\end{array}\right.$，利用cos²α+sin²α=1可得C₁的直角坐標(biāo)方程．由ρ²=x²+y²，x=ρcosθ，y=ρsinθ得：曲線C₁的極坐標(biāo)方程．
（Ⅱ） 設(shè)A（ρ₁，θ₁），B（ρ₂，θ₂）．將$θ=\frac{π}{6}$代入曲線C₁的極坐標(biāo)方程 ρ₁，同理將$θ=\frac{π}{6}$代入曲線C₂的極坐標(biāo)方程得ρ₂，即可得出|AB|=|ρ₁-ρ₂|．

解答 解：（Ⅰ） 由$\left\{\begin{array}{l}x=2cosα+\sqrt{3}\\ y=2sinα+1\end{array}\right.$，變形為$\left\{\begin{array}{l}x-\sqrt{3}=2cosα\\ y-1=2sinα\end{array}\right.$，
可得C₁的直角坐標(biāo)方程是${（x-\sqrt{3}）^2}+{（y-1）^2}=4$，即${x^2}+{y^2}-2\sqrt{3}x-2y=0$．
由ρ²=x²+y²，x=ρcosθ，y=ρsinθ得：曲線C₁的極坐標(biāo)方程${ρ^2}=2ρ（\sqrt{3}cosθ+sinθ）$，即$ρ=4cos（θ-\frac{π}{6}）$．
（Ⅱ） 設(shè)A（ρ₁，θ₁），B（ρ₂，θ₂）．
將$θ=\frac{π}{6}$代入曲線C₁的極坐標(biāo)方程$ρ=4cos（θ-\frac{π}{6}）$得 ρ₁=4，）
同理將$θ=\frac{π}{6}$代入曲線C₂的極坐標(biāo)方程ρ=2cosθ得${ρ_2}=\sqrt{3}$，
∴$|{AB}|=|{{ρ_1}-{ρ_2}}|=4-\sqrt{3}$．

點(diǎn)評 本題考查了直角坐標(biāo)方程化為極坐標(biāo)方程、參數(shù)方程化為普通方程及其應(yīng)用、曲線相交弦長問題，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．