Question

【題目】已知函數(shù)（為常數(shù)， 是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），曲線在點(diǎn)處的切線方程是.

（1）求的值；（2）求的單調(diào)區(qū)間；

（3）設(shè)（其中為的導(dǎo)函數(shù)）。證明：對(duì)任意，

Answer 1

【答案】（1）;（2）單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是;（3）見解析.

【解析】【試題分析】（1）依據(jù)題設(shè)導(dǎo)數(shù)的幾何意義建立方程分析求解；（2）依據(jù)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性之間的關(guān)系分析求解；（3）先將不等式進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化，再借助導(dǎo)數(shù)分析推證：

（1）由得.由已知得，解得.又，即， .

（2）由（1）得，令，

當(dāng)時(shí)， ；當(dāng)時(shí)， ，又當(dāng)時(shí)， ；

當(dāng)時(shí)， ， 的單調(diào)遞增區(qū)間是， 的單調(diào)遞減區(qū)間是

（3）由已知有，于是對(duì)任意等價(jià)于，由（2）知， ，易得，當(dāng)時(shí)， ，即單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)， ，即單調(diào)遞減. 的最大值為，故.設(shè)則，因此，當(dāng)， 單調(diào)遞增， ，故當(dāng)時(shí)， ，即..對(duì)任意