【題目】一根水平放置的長方體形枕木的安全負荷與它的寬度成正比,與它的厚度的平方成正比,與它的長度的平方成反比.
(Ⅰ)將此枕木翻轉(zhuǎn)90°(即寬度變?yōu)楹穸龋,枕木的安全負荷會如何變化?為什么?(設(shè)翻轉(zhuǎn)前后枕木的安全負荷分別為且翻轉(zhuǎn)前后的比例系數(shù)相同都為)
(Ⅱ)現(xiàn)有一根橫斷面為半圓(已知半圓的半徑為)的木材,用它來截取成長方體形的枕木,其長度為10,問截取枕木的厚度為多少時,可使安全負荷最大?
【答案】(Ⅰ) 見解析 (Ⅱ)
【解析】試題分析:(1)安全負荷為正常數(shù)),翻轉(zhuǎn)后,從而得,從而討論變化;(2)如圖,設(shè)截取的寬為,厚度為,則,即,從而得到,再求導(dǎo),確定函數(shù)的單調(diào)性與最值.
試題解析:(Ⅰ)安全負荷為正常數(shù))翻轉(zhuǎn),
,
當(dāng)時,安全負荷變大.
當(dāng) ,安全負荷變。
當(dāng)時,安全負荷不變.
(II)如圖,設(shè)截取的寬為,厚度為,則.
= (
令 得:
當(dāng)時 函數(shù)在上為增函數(shù);
當(dāng)時 函數(shù)在上為減函數(shù);
當(dāng) 時,安全負荷最大。此時厚度
答:當(dāng)問截取枕木的厚度為時,可使安全負荷最大。
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知、分別是橢圓 的左、右焦點,點是橢圓上一點,且.
(1)求橢圓的方程;
(2)設(shè)直線與橢圓相交于,兩點,若,其中為坐標(biāo)原點,判斷到直線的距離是否為定值?若是,求出該定值;若不是,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】平面直角坐標(biāo)系中,橢圓: 的離心率為,過橢圓右焦點作兩條互相垂直的弦,當(dāng)其中一條弦所在直線斜率為0時,兩弦長之和為6.
(1)求橢圓的方程;
(2)是拋物線: 上兩點,且處的切線相互垂直,直線與橢圓相交于兩點,求弦的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為了了解青少年的肥胖是否與常喝碳酸飲料有關(guān),現(xiàn)對30名青少年進行調(diào)查,得到如下列聯(lián)表:
常喝 | 不常喝 | 總計 | |
肥胖 | 2 | ||
不肥胖 | 18 | ||
總計 | 30 |
已知從這30名青少年中隨機抽取1名,抽到肥胖青少年的概率為.
(1)請將列聯(lián)表補充完整;(2)是否有99.5%的把握認為青少年的肥胖與常喝碳酸飲料有關(guān)?
獨立性檢驗臨界值表:
P(K2≥k0) | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
k0 | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
參考公式:,其中n=a+b+c+d.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù)
(1) 判斷并證明f(x)在定義域內(nèi)的單調(diào)性;
(2)證明:當(dāng)x>-1時, ;
(3)設(shè)當(dāng)x≥0時, ,求a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)(為常數(shù), 是自然對數(shù)的底數(shù)),曲線在點處的切線方程是.
(1)求的值;(2)求的單調(diào)區(qū)間;
(3)設(shè)(其中為的導(dǎo)函數(shù))。證明:對任意,
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(本小題滿分12分) 設(shè)函數(shù)
(1)當(dāng)時,求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)令<≤,其圖像上任意一點P處切線的斜率≤恒成立,求實數(shù)的取值范圍;
(3)當(dāng)時,方程在區(qū)間內(nèi)有唯一實數(shù)解,求實數(shù)的取值范圍。
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