Question

已知函數(shù)f（x）=

1-x

ax

+lnx（a＞0）
（1）若a=1，求f（x）的單調(diào)區(qū)間
（2）若函數(shù)f（x）在[1，+∞）上為增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：計算題,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：（1）a=1時求出導(dǎo)數(shù)f′（x），然后在定義域內(nèi)解不等式f′（x）＞0，f′（x）＜0即可；
（2）由題意可得f′（x）≥0在[1，+∞）上恒成立，轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值可求；

解答： 解：（1）函數(shù)f（x）的定義域為（0，+∞），
a=1時，f（x）=

1-x

x

+lnx，f′（x）=

-x-(1-x)

x2

+

1

x

=

x-1

x2

，
由f′（x）＜0，得0＜x＜1；由f′（x）＞0，得x＞1．
∴f（x）的遞減區(qū)間是（0，1）；遞增區(qū)間是（1，+∞）．
（2）f′（x）=

-ax-a(1-x)

a2x2

+

1

x

=

a2x-a

a2x2

，
∵f（x）在[1，+∞）上為增函數(shù)，
∴f′（x）≥0，即a²x-a≥0恒成立，
而x∈[1，+∞），
∴a²-a≥0，解得a≥1，即實數(shù)a的取值范圍是[1，+∞）．

點評：該題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查函數(shù)恒成立問題，考查分類討論思想，屬中檔題．