Question

已知函數(shù)f（x）=3^x，且f（a+2）=18，g（x）=3^ax-4^x的定義域?yàn)閇-1，1]．
（1）求g（x）的解析式；
（2）若方程g（x）=m有解，求m的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：指數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì),有理數(shù)指數(shù)冪的化簡求值

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求出a的值，然后求g（x）的解析式．
（2）根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，利用換元法轉(zhuǎn)化為一元二次函數(shù)求值域，進(jìn)而可得m的取值范圍．

解答： 解：（1）∵f（x）=3^x，f（a+2）=18，
∴3^a+2=9•3^a=18，
即3^a=2，
∴a=log₃2，
∴g（x）=3^ax-4^x=（3^a）^x-4^x=3log32•x-4^x=2^x-4^x．
（2）∵g（x）=2^x-4^x=-（2^x-

1

2

）²+

1

4

，
∵-1≤x≤1，
∴

1

2

≤2x≤2，
∴設(shè)t=2^x，則

1

2

≤t≤2，
則函數(shù)g（x）等價為h（t）=-（t-

1

2

）²+

1

4

，
∴h（t）單調(diào)遞減，
∴-2≤h（t）≤

1

4

，
即函數(shù)g（x）的值域?yàn)閇-2，

1

4

]．
若方程g（x）=m有解，
則m∈[-2，

1

4

]，
故m的取值范圍為[-2，

1

4

]．

點(diǎn)評：本題主要考查指數(shù)函數(shù)和二次函數(shù)的性質(zhì)，利用換元法將函數(shù)轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的一元二次函數(shù)是解決本題的關(guān)鍵．