Question

11．已知函數(shù)f（x）=$\frac{x-m}{{x}^{2}+nx+1}$是奇函數(shù)：
（1）求m、n的值：
（2）判斷函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，1]上的單調(diào)性，并證明結(jié)論．

Answer 1

分析 （1）利用奇函數(shù)的定義求m、n的值：
（2）求導(dǎo)數(shù)，判斷函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，1]上的單調(diào)性．

解答 解：（1）∵f（x）=$\frac{x-m}{{x}^{2}+nx+1}$是奇函數(shù)，
∴f（-x）=-f（x），即$\frac{-x-m}{{x}^{2}-nx+1}$=-$\frac{x-m}{{x}^{2}+nx+1}$，
∴m=0，n=0；
（2）f（x）=$\frac{x}{{x}^{2}+1}$，
∴x∈[0，1]，f′（x）=$\frac{1-{x}^{2}}{（{x}^{2}+1）^{2}}$≥0，
∴函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，1]上單調(diào)遞增．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性，確定函數(shù)的解析式是關(guān)鍵．