Question

6．當(dāng)n≥3，n∈N時(shí)，對(duì)于集合M={1，2，3，…，n}，集合M的所有含3個(gè)元素的子集分別表示為N₁，N₂，N₃，…N_M（n）-1，NM_（n），其中M（n）表示集合M的含3個(gè)元素的子集的個(gè)數(shù)．設(shè)p_i為集合N_i中的最大元素，q_i為集合N_i中的最小元素，1≤i≤M（n），記P=p₁+p₂+…+p_M（n）-1+p_M（n），Q=q₁+q₂+…q_M（n）-1+q_M（n）．
（1）當(dāng)n=4時(shí)，分別求M（4），P，Q；
（2）求證：P=3Q．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意，分析可得當(dāng)n=4時(shí)，M（4）=4，即可以寫出其4個(gè)子集，結(jié)合題意可得P與Q的值；
（2）根據(jù)題意，分析易得3≤p_i≤n，p_i∈Z，且以3為最大元素的子集有${c}_{2}^{2}$個(gè)，類推可得以4、5、…、k為最大元素的子集的數(shù)目，計(jì)算可得P的值；進(jìn)而分析可得1≤q_i≤n-2，q_i∈Z，以1、2、…k…（n-2）為最小元素的子集數(shù)目，即可得Q的值，兩者相加可得P+Q=4${C}_{n+1}^{4}$=4Q，即得證明．

解答 解：（1）當(dāng)n=4時(shí)，M（4）=${c}_{4}^{3}$=4，
4個(gè)子集分別為{1，2，3}；{1，2，4}；{1，3，4}；{2，3，4}，
則P=3+4+4+4=15，Q=1+1+1+2=5；
（2）證明：顯然3≤p_i≤n，p_i∈Z，且以3為最大元素的子集有${c}_{2}^{2}$個(gè)，
以4為最大元素的子集有${C}_{3}^{2}$個(gè)，以5為最大元素的子集有${C}_{4}^{2}$個(gè)，…以k（3≤k≤n）為最大元素的子集有${c}_{k-1}^{2}$個(gè)，
P=P₁+P₂+…+P_{M（n-1）+PM（n）}=3×${C}_{2}^{2}$+4×${C}_{3}^{2}$+…+n${C}_{n-1}^{2}$①，
∵k${C}_{k-1}^{2}$=k$\frac{（k-1）（k-2）}{2}$=3${C}_{k}^{3}$（k=3，4，…n），
∴P=3（${C}_{3}^{3}$+${C}_{4}^{3}$+…+${C}_{n}^{3}$）=3（${C}_{4}^{4}$+${C}_{4}^{3}$+…+${C}_{n}^{3}$）+3（${C}_{5}^{4}$+${C}_{5}^{3}$+…+${C}_{n}^{3}$）=3（${C}_{6}^{4}$+${C}_{6}^{3}$+…+${C}_{n}^{3}$）=3${C}_{n+1}^{4}$，
顯然1≤q_i≤n-2，q_i∈Z，以1為最小元素的子集有${C}_{n-1}^{2}$個(gè)，以2為最小元素的子集有${C}_{n-2}^{2}$個(gè)，以3為最小元素的子集有${C}_{n-3}^{2}$個(gè)，…
以k為最小元素的子集有${C}_{n-k}^{2}$個(gè)，…
以（n-2）為最小元素的子集有${C}_{2}^{2}$個(gè)，
Q=q₁+q₂+…q_M（n）-1+q_M（n）=（n-2）${C}_{2}^{2}$+（n-3）${C}_{3}^{2}$+…k${C}_{k}^{2}$+…${C}_{n-1}^{2}$，
①+②可得：P+Q=（n+1）（${C}_{2}^{2}$+${C}_{3}^{2}$+${C}_{4}^{2}$+…+${C}_{n-1}^{2}$）
=（n+1）（${C}_{3}^{3}$+${C}_{3}^{2}$+${C}_{4}^{2}$+…+${C}_{n-1}^{2}$）=4${C}_{n+1}^{4}$，
所以P=3Q．

點(diǎn)評(píng) 本題考查組合數(shù)的性質(zhì)、運(yùn)算，涉及子集的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是分析滿足條件的子集的數(shù)目以及運(yùn)用組合數(shù)公式進(jìn)行計(jì)算．