Question

18．在△ABC中，D為BC邊上一點，若△ABD是等邊三角形，且AC=4$\sqrt{3}$，則△ADC的面積的最大值為$4\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 先利用余弦定理求得建立等式，利用基本不等式的性質(zhì)確定AD•DC的最大值，進而根據(jù)三角形面積公式求得三角形面積的最大值．

解答 解：
在△ACD中，cos∠ADC=$\frac{A{D}^{2}+D{C}^{2}-A{C}^{2}}{2AD•DC}$=$\frac{A{D}^{2}+D{C}^{2}-48}{2AD•DC}$=-$\frac{1}{2}$，
整理得AD²+CD²=48-AD•DC≥2•AD•DC，
∴AD•DC≤16，AD=CD時取等號，
∴△ADC的面積S=$\frac{1}{2}$AD•DC•sin∠ADC=$\frac{\sqrt{3}}{4}$AD•DC≤4$\sqrt{3}$，
故答案為：$4\sqrt{3}$

點評 本題主要考查了正弦定理的應(yīng)用和余弦定理的應(yīng)用．本題靈活運用了基本不等式的基本性質(zhì)解決了三角形求最值的問題．