Question

11．設(shè)O是△ABC的外心，a、b、c分別為△ABC內(nèi)角A、B、C的對邊，且b²-2b+c²=0，則$\overrightarrow{BC}$•$\overrightarrow{AO}$的取值范圍是[-$\frac{1}{4}$，2）．

Answer 1

分析 根據(jù)已知條件可畫出△ABC及其外接圓，連接AO并延長，交外接圓于D．所以便得到cos∠BAD=$\frac{|AB|}{|AD|}$，cos∠CAD=$\frac{|AC|}{|AD|}$，所以$\overrightarrow{BC}$•$\overrightarrow{AO}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{AC}$-$\overrightarrow{AB}$）•$\overrightarrow{AD}$=b²-b=（b-$\frac{1}{2}$）²-$\frac{1}{4}$，而根據(jù)c²=2b-b²可求得b的范圍0＜b＜2，所以求出二次函數(shù)（b-$\frac{1}{2}$）²-$\frac{1}{4}$在（0，2）上的范圍即可．

解答 解：如圖，連接AO并延長交外接圓于D，AD是⊙O的直徑，
連接BD，CD，則∠ABD=∠ACD=90°，cos∠BAD=$\frac{|AB|}{|AD|}$，cos∠CAD=$\frac{|AC|}{|AD|}$，
∴$\overrightarrow{BC}$•$\overrightarrow{AO}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{AC}$-$\overrightarrow{AB}$）•$\overrightarrow{AD}$
=$\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{AC}$||$\overrightarrow{AD}$|cos∠CAD-$\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{AB}$||$\overrightarrow{AD}$|cos∠BAD
=$\frac{1}{2}$（b²-c²）
=$\frac{1}{2}$（b²+b²-2b）
=b²-b
=（b-$\frac{1}{2}$）²-$\frac{1}{4}$，
∵c²=2b-b²＞0，
∴0＜b＜2；
設(shè)f（b）=（b-$\frac{1}{2}$）²-$\frac{1}{4}$，
∴b=$\frac{1}{2}$時，f（b）取最小值-$\frac{1}{4}$，
又f（2）=2，
∴-$\frac{1}{4}$≤f（b）＜2；
∴$\overrightarrow{BC}$•$\overrightarrow{AO}$的范圍是[-$\frac{1}{4}$，2），
故答案為：[-$\frac{1}{4}$，2）．

點評 本題考查圓的直徑所對的圓周角為90°，用直角三角形的邊表示余弦值，以及二次函數(shù)值域的求法，注意解題方法的積累，屬于中檔題．