Question

8．已知函數f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{|ln（x-1）|+3，x＞1}\\{-{x}^{2}-2x+1，x≤1}\end{array}\right.$，若關于x的方程f²（x）+bf（x）+3b-2=0有4個不同的實數根，則實數b的取值范圍是（-$\frac{2}{5}$，6-2$\sqrt{7}$）∪[-2，-$\frac{7}{6}$）．

Answer 1

分析 作函數f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{|ln（x-1）|+3，x＞1}\\{-{x}^{2}-2x+1，x≤1}\end{array}\right.$的圖象，從而可得x²+bx+3b-2=0有2個不同的實數根，從而根據根的不同位置求解即可．

解答 解：作函數f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{|ln（x-1）|+3，x＞1}\\{-{x}^{2}-2x+1，x≤1}\end{array}\right.$的圖象如下，
，
∵關于x的方程f²（x）+bf（x）+3b-2=0有4個不同的實數根，
∴x²+bx+3b-2=0有2個不同的實數根，
令g（x）=x²+bx+3b-2，
若2個不同的實數根都在[-2，2）上，
則$\left\{\begin{array}{l}{-2＜-\frac{2}＜2}\\{△＞0}\\{g（-2）≥0}\\{g（2）＞0}\end{array}\right.$，
解得，-$\frac{2}{5}$＜b＜6-2$\sqrt{7}$，
若2個不同的實數根都在（3，+∞）上，
則$\left\{\begin{array}{l}{3＜-\frac{2}}\\{△＞0}\\{g（3）=9+3b+3b-2＞0}\end{array}\right.$，
無解；
若分別在[-2，2），（3，+∞）上，
令g（x）=x²+bx+3b-2，
則$\left\{\begin{array}{l}{g（-2）=4-2b+3b-2≥0}\\{g（2）=4+2b+3b-2＜0}\\{g（3）=9+3b+3b-2＜0}\end{array}\right.$，
解得，-2≤b＜-$\frac{7}{6}$；
故答案為：（-$\frac{2}{5}$，6-2$\sqrt{7}$）∪[-2，-$\frac{7}{6}$）．

點評 本題考查了分段函數的應用及數形結合的思想應用．