Question

16．已知函數(shù)f（x）=（x-a）lnax，g（x）=x²-（a+$\frac{1}{a}$）x+1（a∈R，a＞1）．
（Ⅰ）若函數(shù)f（x）在x=a處的切線l斜率為2，求l的方程；
（Ⅱ）是否存在實(shí)數(shù)a，使得當(dāng)x∈（$\frac{1}{a}$，a）時(shí)，f（x）＞g（x）恒成立．若存在，求a的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義建立方程即可得到結(jié)論．
（Ⅱ）將不等式恒成立進(jìn)行轉(zhuǎn)化，構(gòu)造函數(shù)，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)和函數(shù)最值之間的關(guān)系進(jìn)行求解即可．

解答 解：（Ⅰ）因?yàn)?f'（x）=ln（ax）-\frac{a}{x}+1$，f′（a）=2，…（2分）
所以lna²=2，解得a=e或a=-e（舍去）．…（3分）
因?yàn)閒（x）=（x-e）lnex，
所以f（e）=0，切點(diǎn)為（e，0），
所以l的方程為y=2x-2e．…（5分）
（Ⅱ）由f（x）＞g（x）得，$（x-a）lnax＞{x^2}-（a+\frac{1}{a}）x+1$，
$（x-a）lnax＞（x-a）（x-\frac{1}{a}）$，
又$x∈（\frac{1}{a}，a）$，所以$lnax＜x-\frac{1}{a}$，$lnax-x+\frac{1}{a}＜0$．…（2分）
令$h（x）=lnax-x+\frac{1}{a}$（$x∈（\frac{1}{a}，a）$），則$h'（x）=\frac{1}{x}-1=\frac{1-x}{x}$，
所以，當(dāng)$\frac{1}{a}＜x＜1$時(shí)，h'（x）＞0，h（x）單調(diào)遞增；
當(dāng)1＜x＜a時(shí)，h′（x）＜0，h（x）單調(diào)遞減，
所以當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)h（x）取得最大值h（1）=lna+$\frac{1}{a}$-1．…（9分）
故只需lna+$\frac{1}{a}$-1＜0（*）．
令φ（x）=lnx+$\frac{1}{x}$-1，（x＞1），則φ′（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{1}{{x}^{2}}$=$\frac{x-1}{{x}^{2}}$，
所以當(dāng)x＞1時(shí)，φ′（x）＞0，φ（x）單調(diào)遞增，所以φ（x）＞φ（1）=0．…（11分）
故不等式（*）無解．
綜上述，不存在實(shí)數(shù)a，使得當(dāng)x∈（$\frac{1}{a}$-，a）時(shí)，f（x）＞g（x）恒成立．…（12分）

點(diǎn)評 本題主要考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義以及不等式恒成立進(jìn)行轉(zhuǎn)化是解決本題的關(guān)鍵．考查學(xué)生的運(yùn)算和轉(zhuǎn)化能力，綜合性較強(qiáng)，有一定的難度．