Question

6．已知函數(shù)f（x）=-x²+2ax+1-a．
（1）若a=1，求函數(shù)f（x）的最大值；
（2）若函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，1]上的最大值是2，求實數(shù)a的值．

Answer 1

分析 （1）將a=1代入結合二次函數(shù)的圖象和性質，可得答案．
（2）先求對稱軸，比較對稱軸和區(qū)間的關系，利用開口向下的二次函數(shù)離對稱軸越近函數(shù)值越大來解題．

解答 解：（1）若a=1，函數(shù)f（x）=-x²+2x，
函數(shù)圖象是開口朝下，且以直線x=1為對稱軸的拋物線，
故當x=1時，函數(shù)f（x）取最大值1，
（2）函數(shù)f（x）=-x²+2ax+1-a的圖象是開口朝下，且以直線x=a為對稱軸的拋物線，
當a＜0時，[0，1]是f（x）的遞減區(qū)間，f（x）_max=f（0）=1-a=2，
∴a=-1；
當a＞1時，[0，1]是f（x）的遞增區(qū)間，f（x）_max=f（1）=a=2，
∴a=2；
當0≤a≤1時，f（x）_max=f（a）=a²-a+1=2，
解得a=$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$（舍去），或a=$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$（舍去），
所以a=-1或a=2．

點評 此題是個中檔題．本題考查了二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題．關于不定解析式的二次函數(shù)在固定閉區(qū)間上的最值問題，一般是根據(jù)對稱軸和閉區(qū)間的位置關系來進行分類討論，如軸在區(qū)間左邊，軸在區(qū)間右邊，軸在區(qū)間中間，最后再綜合歸納得出所需結論．