Question

20．已知數(shù)列{a_n}滿足${a_1}=\frac{1}{2}$，且當(dāng)n≥2，且n∈N^*時(shí)，有$\frac{{{a_{n-1}}}}{a_n}=\frac{{{a_{n-1}}+2}}{{2-{a_n}}}$，
（1）求證：數(shù)列$\left\{{\frac{1}{a_n}}\right\}$為等差數(shù)列；
（2）已知函數(shù)$f（n）={（\frac{9}{10}）^n}（{n∈{N_+}}）$，試問數(shù)列$\left\{{\frac{f（n）}{a_n}}\right\}$是否存在最小項(xiàng)，如果存在，求出最小項(xiàng)；如果不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）由$\frac{{{a_{n-1}}}}{a_n}=\frac{{{a_{n-1}}+2}}{{2-{a_n}}}$，整理化簡(jiǎn)可得a_n-1-a_n=a_n-1a_n．變形即可得出；
（2）利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可得a_n，進(jìn)而得到b_n，再利用數(shù)列的單調(diào)性即可得出．

解答 （1）證明：$\frac{{{a_{n-1}}}}{a_n}=\frac{{{a_{n-1}}+2}}{{2-{a_n}}}⇒2{a_{n-1}}-{a_{n-1}}{a_n}={a_{n-1}}{a_n}+2{a_n}$⇒a_n-1-a_n=a_n-1a_n$⇒\frac{1}{a_n}-\frac{1}{{{a_{n-1}}}}=1（{n≥2，且n∈{N^*}}）$．
∴$\left\{{\frac{1}{a_n}}\right\}$是首項(xiàng)為$\frac{1}{a_1}=2$，公差d=1的等差數(shù)列．
（2）數(shù)列$\left\{{\frac{f（n）}{a_n}}\right\}$的第8項(xiàng)或第9項(xiàng)是最大項(xiàng)，無最小項(xiàng)．
由（1）$\frac{1}{a_n}=2+（n-1）=n+1$．
令${b_n}=\frac{f（n）}{a_n}={（{\frac{9}{10}}）^n}（{n+1}）（{n∈{N_+}}）$，則$\frac{{{b_{n+1}}}}{b_n}=（{{{（{\frac{9}{10}}）}^{n+1}}（n+2）}）÷（{{{（{\frac{9}{10}}）}^n}（n+1）}）=\frac{{9（{n+2}）}}{{10（{n+1}）}}$．
令$\frac{{{b_{n+1}}}}{b_n}≥1?n≤8$，即b₁＜b₂＜…＜b₈=b₉；
令$\frac{{{b_{n+1}}}}{b_n}＜1?n＞8$，即b₉＞b₁₀＞…，
∴（b_n）_max=b₈=b₉=$\frac{{9}^{9}}{1{0}^{8}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了遞推關(guān)系、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、數(shù)列的單調(diào)性，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．