Question

2．若sinα-sinβ=-$\frac{1}{3}$，cosα-cosβ=$\frac{1}{2}$，則sin（α+β）的值$\frac{12}{13}$．

Answer 1

分析 把式子兩邊分別平方，然后兩式相加即可求出sin（α+β）的值．

解答 解：∵sinα-sinβ=-$\frac{1}{3}$…①，
cosα-cosβ=$\frac{1}{2}$…②，
兩邊平方得：sin²α+sin²β-2sinαsinβ=$\frac{1}{9}$，
cos²α+cos²β-2cosαcosβ=$\frac{1}{4}$；
兩式相加得：2-2（sinαsinβ+cosαcosβ）=$\frac{13}{36}$，
∴cos（α-β）=sinαsinβ+cosαcosβ
=$\frac{59}{72}$．
①×②得：
cosαsinα+cosβsinβ-（sinαcosβ+cosαsinβ）=-$\frac{1}{6}$，
∴sin2α+sin2β-2sin（α+β）=-$\frac{1}{3}$
2sin（α+β）cos（α-β）-2sin（α+β）=-$\frac{1}{3}$
sin（α+β）[cos（α-β）-1]=-$\frac{1}{6}$
∴sin（α+β）=$\frac{1}{6-6cos（α-β）}$=$\frac{12}{13}$．
故答案為$\frac{12}{13}$．

點評 本題考查了兩角和的正弦公式及平方關(guān)系式，解決這類題目的關(guān)鍵是通過分析條件式和要求解的表達式之間的關(guān)系，通過恰當?shù)墓�式建立他們之間的聯(lián)系．