Question

4．已知函數(shù)$f（x）=\sqrt{2}sin（ωx+\frac{π}{4}）（ω＞0）$的最小正周期為π，下列四個(gè)判斷：
（1）當(dāng)$x∈[0，\frac{π}{2}]$時(shí)，f（x）的最小值為-1；
（2）函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線$x=\frac{π}{8}$對(duì)稱；
（3）函數(shù)f（x）的圖象可由$y=\sqrt{2}cos2x$的圖象向右平移$\frac{π}{4}$個(gè)單位長(zhǎng)度得到；
（4）函數(shù)f（x）在區(qū)間$[\frac{π}{8}，\frac{3π}{8}]$上是減函數(shù)．
以上正確判斷的個(gè)數(shù)是（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 求出ω的值，求出f（x）的表達(dá)式，根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)分別判斷即可．

解答 解：（1）∵0≤x≤$\frac{π}{2}$，∴$\frac{π}{4}$≤2x+$\frac{π}{4}$≤$\frac{5π}{4}$，
∴當(dāng)2x+$\frac{π}{4}$=$\frac{5π}{4}$，即x=$\frac{π}{2}$時(shí)，
函數(shù)f（x）取得最小值$\sqrt{2}$×（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$）=-1，
故（1）正確；
（2）∵函數(shù)f（x）的最小正周期為π，
∴ω=$\frac{2π}{π}$=2，f（x）=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$），
對(duì)稱軸x=kπ+$\frac{π}{2}$=2x+$\frac{π}{4}$，解得：x=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{8}$，
故函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線$x=\frac{π}{8}$對(duì)稱，
故（2）正確；
（3）f（x）=$\sqrt{2}$sin[2（x+$\frac{π}{8}$）]是由函數(shù)y=$\sqrt{2}$sin2x向左平移$\frac{π}{8}$個(gè)單位得到，
故（3）錯(cuò)誤；
（4）由2kπ+$\frac{π}{2}$＜2x+$\frac{π}{4}$＜2kπ+$\frac{3π}{2}$，
得：kπ+$\frac{π}{8}$＜x＜kπ+$\frac{5π}{8}$，
故函數(shù)f（x）在區(qū)間$[\frac{π}{8}，\frac{3π}{8}]$上是減函數(shù)，
故（4）正確；
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角函數(shù)的性質(zhì)，考查函數(shù)的單調(diào)性、最值問(wèn)題，是一道中檔題．