Question

14．若$\overrightarrow a，\overrightarrow b$是兩個非零向量，且$|{\overrightarrow a}|=|{\overrightarrow b}|=\frac{{\sqrt{3}}}{3}|{\overrightarrow a+\overrightarrow b}|$，則$\overrightarrow b$與$\overrightarrow a-\overrightarrow b$的夾角為$\frac{2π}{3}$．

Answer 1

分析 對|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow$|=$\frac{\sqrt{3}}{3}$|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|兩邊平方，求出$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$的值，再利用平面向量的夾角公式即可求出$\overrightarrow$與$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$的夾角大�。�

解答 解：∵$\overrightarrow a，\overrightarrow b$是兩個非零向量，且|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow$|=$\frac{\sqrt{3}}{3}$|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|，
∴${\overrightarrow{a}}^{2}$=$\frac{1}{3}$（${\overrightarrow{a}}^{2}$+2$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$+${\overrightarrow}^{2}$）；
即2$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=${\overrightarrow{a}}^{2}$；
∴$\overrightarrow$•（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$）=$\overrightarrow$•$\overrightarrow{a}$-${\overrightarrow}^{2}$=$\frac{1}{2}$${\overrightarrow{a}}^{2}$-${\overrightarrow{a}}^{2}$=-$\frac{1}{2}$${\overrightarrow{a}}^{2}$，
|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|=$\sqrt{{（\overrightarrow{a}-\overrightarrow）}^{2}}$=$\sqrt{{\overrightarrow{a}}^{2}-2\overrightarrow{a}•\overrightarrow{+\overrightarrow}^{2}}$=|$\overrightarrow{a}$|；
∴cos＜$\overrightarrow$，$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$＞=$\frac{\overrightarrow•（\overrightarrow{a}-\overrightarrow）}{|\overrightarrow|×|\overrightarrow{a}-\overrightarrow|}$=$\frac{-{\frac{1}{2}\overrightarrow{a}}^{2}}{{\overrightarrow{a}}^{2}}$=-$\frac{1}{2}$；
又＜$\overrightarrow$，$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$＞∈[0，π]，
∴$\overrightarrow$與$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$的夾角為$\frac{2π}{3}$．
故答案為：$\frac{2π}{3}$．

點評 本題考查了數(shù)量積的運算，兩向量夾角的余弦公式，以及向量夾角的范圍的應用問題．