Question

10．某學(xué)校要建造一個(gè)面積為10000平方米的運(yùn)動(dòng)場(chǎng)．如圖，運(yùn)動(dòng)場(chǎng)是由一個(gè)矩形ABCD和分別以AD、BC為直徑的兩個(gè)半圓組成．跑道是一條寬8米的塑膠跑道，運(yùn)動(dòng)場(chǎng)除跑道外，其他地方均鋪設(shè)草皮．已知塑膠跑道每平方米造價(jià)為150元，草皮每平方米造價(jià)為30元．
（1）設(shè)半圓的半徑OA=r（米），試建立塑膠跑道面積S與r的函數(shù)關(guān)系S（r），并求其定義域；
（2）由于條件限制r∈[30，40]，問(wèn)當(dāng)r取何值時(shí)，運(yùn)動(dòng)場(chǎng)造價(jià)最低？

Answer 1

分析 （1）求出塑膠跑道面積的表達(dá)式，然后求解定義域．
（2）寫(xiě)出運(yùn)動(dòng)場(chǎng)造價(jià)的表達(dá)式，判斷函數(shù)的單調(diào)性，然后求解最小值即可．

解答 解：（1）塑膠跑道面積S=$π[{r}^{2}-（{r-8）}^{2}]+\frac{10000-{πr}^{2}}{2r}×2$=$\frac{80000}{r}+8πr-64π$
∵πr²＜10000，∴$8＜r＜\frac{100}{\sqrt{π}}$，故定義域?yàn)?（8，\frac{100}{\sqrt{π}}）$．
（2）設(shè)運(yùn)動(dòng)場(chǎng)的造價(jià)為y元y=150s+30（10000-s）=120s+300000 
=300000+120$（\frac{80000}{r}+8πr）-7680π$，∵$\frac{80000}{r}+8πr≥1600\sqrt{π}$，當(dāng)且僅當(dāng)r=$\frac{100\sqrt{π}}{π}$時(shí)取等號(hào)，
∴函數(shù)y=300000+120$（\frac{80000}{r}+8πr）-7680π$，在[30，40]上為減函數(shù)．
∴當(dāng)r=40時(shí)，函數(shù)有最小值．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的最值與應(yīng)用，考查實(shí)際問(wèn)題的處理策略，基本不等式的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．