Question

16．已知f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-4x+3，x≤0}\\{-{x}^{2}-2x+3，x＞0}\end{array}\right.$則不等式f（x²-x）＞-5的解集為（-1，2）．

Answer 1

分析 討論分段函數(shù)的單調(diào)性，可得f（x）在R上連續(xù)，且為遞減函數(shù)，又f（2）=-5，不等式f（x²-x）＞-5
即為f（x²-x）＞f（2），由單調(diào)性可去掉f，解二次不等式即可得到解集．

解答 解：當(dāng)x≤0時(shí)，f（x）=x²-4x+3=（x-2）²-1為遞減函數(shù)，
當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=-x²-2x+3=-（x+1）²+4為遞減函數(shù)，
且x=0時(shí)，f（0）=3，
則f（x）在R上連續(xù)，且為遞減函數(shù)，
又f（2）=-5，
不等式f（x²-x）＞-5即為f（x²-x）＞f（2），
由f（x）為R上的單調(diào)遞減函數(shù)，可得
x²-x＜2，
解得-1＜x＜2．
則解集為（-1，2）．
故答案為：（-1，2）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查分段函數(shù)的運(yùn)用，主要考查函數(shù)的單調(diào)性和運(yùn)用：解不等式，同時(shí)考查二次不等式的解法，屬于中檔題．