Question

f（x）=

ax3

27

-x+1對于x∈[-3，3]總有f（x）≥0成立，則a=

 

．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,基本不等式

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：f（x）=

ax3

27

-x+1對于x∈[-3，3]總有f（x）≥0成立?f（x）_min≥0，x∈[-3，3]．f′(x)=

ax2

9

-1，對a分類討論，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值即可．

解答： 解：f′(x)=

ax2

9

-1，
①當a≤0時，f′（x）≤0，函數(shù)f（x）在x∈[-3，3]單調(diào)遞減，∴f（x）_min=f（3）=a-3+1．
∵f（x）=

ax3

27

-x+1對于x∈[-3，3]總有f（x）≥0成立，∴a-2≥0，解得a≥2，不符合條件，應(yīng)舍去．
②當a＞0時，f′（x）=

a(x- 3 a )(x+ 3 a )

9

．
當0＜a≤1時，

3

a

≥3，函數(shù)f（x）在x∈[-3，3]單調(diào)遞減，∴f（x）_min=f（3）=a-3+1．
∵f（x）=

ax3

27

-x+1對于x∈[-3，3]總有f（x）≥0成立，∴a-2≥0，解得a≥2，不符合條件，應(yīng)舍去．
當a＞1時，0＜

3

a

＜3，令f′（x）=0，解得x=±

3

a

．
列出表格：

x	[-3，- 3 a )	- 3 a	(- 3 a ， 3 a )	3 a	( 3 a ，3]
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	單調(diào)遞增	極大值	單調(diào)遞減	極小值	單調(diào)遞增

由表格可知：當x=

3

a

時，f（x）取得極小值，由f(

3

a

)=-

2

a

+1≥0，解得a≥4；
由f（-3）=-a+4≥0，解得a≤4．
∵f（x）=

ax3

27

-x+1對于x∈[-3，3]總有f（x）≥0成立，∴a=4．
故答案為：4．

點評：本題考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值，考查了分類討論的思想方法，考查了推理能力和計算能力，屬于難題．