Question

已知P是橢圓

x2

4

+

y2

3

=1上不同于左頂點(diǎn)A、右頂點(diǎn)B的任意一點(diǎn)，直線PA交直線l：x=4于點(diǎn)M，直線PB交直線l于點(diǎn)N，記直線PA，PB的斜率分別為k₁，k₂．
（1）求k₁•k₂的值；
（2）求證以MN為直徑的圓恒經(jīng)過(guò)兩定點(diǎn)．

Answer 1

分析：（1）A（-2，0），B（2，0），設(shè)P（x₀，y₀），故

x02

4

+

y02

3

=1，由此能求出k₁•k₂的值．
（2）設(shè)M(4，y1)，N(4，y2)，k1=

y1

6

，k2=

y2

2

，所以y₁y₂=-9，以MN為直徑的圓的方程為（x-4）（x-4）+（y-y₁）（y-y₂）=0，令y=0，解得x=1或x=7．由此能導(dǎo)出以MN為直徑的圓恒過(guò)x軸上的兩定點(diǎn)（1，0）和（7，0）．

解答：解：（1）A（-2，0），B（2，0），
設(shè)P（x₀，y₀），
故

x02

4

+

y02

3

=1，
即y02=

3

4

( 4-x0 2)，
k1k2=

y0

x0+2

 •

y0

x0-2

=-

3

4

．
（2）設(shè)M(4，y1)，N(4，y2)，k1=

y1

6

，k2=

y2

2

，所以y₁y₂=-9，
以MN為直徑的圓的方程為（x-4）（x-4）+（y-y₁）（y-y₂）=0，
令y=0，得（x-4）²+（-y₁）（-y₂）=0，解得x=1或x=7．
∴以MN為直徑的圓恒過(guò)x軸上的兩定點(diǎn)（1，0）和（7，0）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查求k₁•k₂的值和求證以MN為直徑的圓恒經(jīng)過(guò)兩定點(diǎn)．解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意挖掘題設(shè)中的隱條件，靈活運(yùn)用橢圓的性質(zhì)，合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．