Question

3．設(shè)x∈R，f（x）=（$\frac{1}{3}$）^|x|，若不等式f（x）-k≤-f（2x）對(duì)于任意的x∈R都恒成立，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是[2，+∞）．

Answer 1

分析 若不等式f（x）+f（2x）≤k對(duì)于任意的x∈R恒成立，只要（f（x）+f（2x））_min≤k對(duì)于任意的x∈R恒成立即可，將f（x）的解析式代入，利用換元法轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求最值即可

解答 解：∵f（x）=（$\frac{1}{3}$）^|x|，
∴f（2x）=（$\frac{1}{3}$）^|2x|，
∵不等式f（x）+f（2x）≤k對(duì)于任意的x∈R恒成立
令t=（$\frac{1}{3}$）^|x|=t∈（0，1]，則y=t²+t（0＜t≤1）
∵對(duì)稱軸t=-$\frac{1}{2}$，則當(dāng)t=1時(shí)，y_max=2，
∴k≥2，
故答案為：[2，+∞）

點(diǎn)評(píng) 本題考查含有絕對(duì)值的函數(shù)的圖象的做法和不等式恒成立為題，題目難度不大，屬基本題型，基本方法的考查