Question

如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，∠ABD=30°，AB=2CD=2AD=2DE=2，DE⊥平面ABCD，EF∥BD，且BD=2EF．
（Ⅰ）求證：平面ADE⊥平面BDEF；
（Ⅱ）若二面角C-BF-D的大小為60°，求CF與平面ABCD所成角的正弦值．

Answer 1

考點：直線與平面所成的角

專題：空間向量及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）根據(jù)面面垂直的判定定理即可證明平面ADE⊥平面BDEF；
（Ⅱ）建立空間直角坐標系，利用向量法即可求CF與平面ABCD所成角的正弦值．

解答： 解：（Ⅰ）在△ABD中，∠ABD=30°，由AO²=AB²+BD²-2AB•BDcos30°，
解得BD=

3

，所以AB²+BD²=AB²，根據(jù)勾股定理得∠ADB=90°
所以AD⊥BD．
又因為DE⊥平面ABCD，AD?平面ABCD，∴AD⊥DE．
又因為BD∩DE=D，所以AD⊥平面BDEF，又AD?平面ABCD，
∴平面ADE⊥平面BDEF．
（Ⅱ）可知DA、DB、DE兩兩垂直，以D為原點，建立如圖所示的空間直角坐標系D-xyz．
設(shè)DE=h，則D（0，0，0），B（0，

3

，0），C（-

1

2

，-

3

2

，h）.

BC

=(-

1

2

，-

3

2

，0)，

BF

=(0，-

3

2

，h)．
設(shè)平面BCF的法向量為m=（x，y，z），
則

m• BC =0 m BF =0

所以

-0.5x- 3 2 y=0 - 3 2 y+hz=0

取x=

3

，所以m=（

3

，-1，-

3

2h

），
取平面BDEF的法向量為n=（1，0，0），
由|cos＜m，n＞|=

m•m

|m|•|n|

=cos60°，解得h=

6

8

，則DE=

6

8

，
又

CF

=(

1

2

，0，

6

8

)，則CF=

22

8

，設(shè)CF與平面ABCD所成角為α，
則sinα=

6

8

+

22

8

=

33

11

．
故直線CF與平面ABCD所成角的正弦值為

33

11

．

點評：本題主要考查空間面面垂直的判斷條件，以及線面角的計算，利用空間向量法是解決本題的關(guān)鍵．