Question

14．已知數(shù)列{a_n}為正項(xiàng)數(shù)列，其前n項(xiàng)和為S_n，且S_n滿足$4{S_n}={（{a_n}+1）^2}$，
（Ⅰ）求證：數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列；
（Ⅱ）設(shè)${b_n}=\frac{1}{{{a_n}•{a_{n+1}}}}$，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T(mén)_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通過(guò)在$4{S_n}={（{a_n}+1）^2}$中令n=1可知a₁=1，當(dāng)n≥2時(shí)通過(guò)$4{S_n}={（{a_n}+1）^2}$與$4{S}_{n-1}=（{a}_{n-1}+1）^{2}$作差，進(jìn)而計(jì)算可得結(jié)論；
（Ⅱ）通過(guò)（Ⅰ）、裂項(xiàng)可知數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式，進(jìn)而并項(xiàng)相加即得結(jié)論．

解答 （Ⅰ）證明：由于$4{S_n}={（{a_n}+1）^2}$，
（1）當(dāng)n=1時(shí)，有$4{S_1}=4{a_1}={（{a_1}+1）^2}$，解得：a₁=1，
（2）當(dāng)n≥2時(shí)，有$\left\{\begin{array}{l}4{S_n}={（{a_n}+1）^2}\\ 4{S_{n-1}}={（{a_{n-1}}+1）^2}\end{array}\right.$，
作差、整理可得：（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-2）=0，
又∵數(shù)列{a_n}為正項(xiàng)數(shù)列，
∴a_n-a_n-1=2，
∴數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為1、公差為2的等差數(shù)列；
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可知a₁=1、d=2，所以a_n=2n-1，
由題意可知：${b_n}=\frac{1}{{{a_n}•{a_{n+1}}}}=\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}=\frac{1}{2}（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$，
故${T_n}={b_1}+{b_2}+…{b_n}=\frac{1}{2}[（1-\frac{1}{3}）+（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）+…+（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）]$
=$\frac{1}{2}（1-\frac{1}{2n+1}）=\frac{n}{2n+1}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)及前n項(xiàng)和，考查裂項(xiàng)相消法，注意解題方法的積累，屬于中檔題．