【題目】已知數(shù)列的前n項和為,,且,數(shù)列滿足,,其前9項和為63.
(1)求數(shù)列和的通項公式;
(2)令,數(shù)列的前n項和為,若對任意正整數(shù)n,都有,求的最小值.
【答案】(1) an=n;bn=n+2.
(2) .
【解析】分析:(1)由題意結(jié)合所給條件可知數(shù)列是首項為1,公差為的等差數(shù)列,據(jù)此計算可得,利用遞推關(guān)系式可得.
(2)由(1)裂項求和可得,據(jù)此整理計算可得的最小值為.
詳解:(1)由2nSn+1-2(n+1)Sn=n(n+1),得-=,
所以數(shù)列是首項為1,公差為的等差數(shù)列,
因此=S1+(n-1)×=n+,即Sn=.
于是an+1=Sn+1-Sn=-=n+1,
所以an=n.
因為bn+2-2bn+1+bn=0,所以數(shù)列是等差數(shù)列,
由{bn}的前9項和為63,得=63,
又b3=5,所以b7=9,
所以數(shù)列{bn}的公差d==1,
則bn=b3+(n-3)×1=n+2.
(2)由(1)知cn=+=+=2+2(-),
所以Tn=c1+c2+…+cn=2n+2(1-+-+-+…+-+-)
=2n+2(1+--)=3-2(+)+2n,
則Tn-2n=3-2(+).
設(shè)An=Tn-2n=3-2(+).
因為An+1-An=3-2(+)-[3-2(+)]=2(-)=>0,
所以數(shù)列{An}為遞增數(shù)列,則(An)min=A1=.
又因為An=3-2<3,所以≤An<3.
因為對任意正整數(shù)n,Tn-2n∈[a,b],所以a≤,b≥3,則(b-a)min=3-=.
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【題目】在△ABC中,a、b、c分別為內(nèi)角A、B、C的對邊,且2asinA=(2b+c)sinB+(2c+b)sinC
(1)求A的大;
(2)若sinB+sinC=1,試判斷△ABC的形狀.
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【題目】【選修4﹣1幾何證明選講】
如圖,CD為△ABC外接圓的切線,AB的延長線交直線CD于點D,E、F分別為弦AB與弦AC上的點,且BCAE=DCAF,B、E、F、C四點共圓.
(1)證明:CA是△ABC外接圓的直徑;
(2)若DB=BE=EA,求過B、E、F、C四點的圓的面積與△ABC外接圓面積的比值.
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【題目】已知數(shù)列的首項,前項和為,.
(1)求數(shù)列的通項公式;
(2)設(shè),求數(shù)列的前n項和Tn,并證明:1≤Tn<.
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【題目】已知二階矩陣M有特征值λ=8及對應(yīng)的一個特征向量 =[ ],并且矩陣M對應(yīng)的變換將點(﹣1,2)變換成(﹣2,4).
(1)求矩陣M;
(2)求矩陣M的另一個特征值.
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【題目】設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn,點 (n∈N*)均在函數(shù)y=3x-2的圖象上.
(1)求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)設(shè)bn=,Tn是數(shù)列{bn}的前n項和,求使得Tn<對所有n∈N*都成立的最小正整數(shù)m.
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【題目】閱讀如下程序框圖,如果輸出i=5,那么在空白矩形框中應(yīng)填入的語句為( )
A.S=2*i﹣2
B.S=2*i﹣1
C.S=2*I
D.S=2*i+4
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【題目】(題文)平面內(nèi)動點到兩定點,距離之比為常數(shù),則動點的軌跡叫做阿波羅尼斯圓.現(xiàn)已知定點、,圓心為,
(1)求滿足上述定義的圓的方程,并指出圓心的坐標(biāo)和半徑;
(2)若,且經(jīng)過點的直線交圓于,兩點,當(dāng)的面積最大時,求直線的方程.
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【題目】已知函數(shù)
(I)求函數(shù)f(x)的最小正周期和對稱中心的坐標(biāo)
(II)設(shè),求函數(shù)g(x)在上的最大值,并確定此時x的值
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