Question

【題目】（題文）平面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)到兩定點(diǎn)，距離之比為常數(shù)，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡叫做阿波羅尼斯圓.現(xiàn)已知定點(diǎn)、，圓心為，

（1）求滿足上述定義的圓的方程，并指出圓心的坐標(biāo)和半徑；

（2）若，且經(jīng)過點(diǎn)的直線交圓于，兩點(diǎn)，當(dāng)的面積最大時(shí)，求直線的方程.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）.

【解析】

分析：（1）根據(jù)定義建立等量關(guān)系，化簡(jiǎn)即可得到圓的方程，進(jìn)而指出圓心的坐標(biāo)和半徑；

（2）設(shè)，則的面積，根據(jù)正弦函數(shù)的最值得到結(jié)果.

詳解：（1）設(shè)動(dòng)點(diǎn)，則，

整理得，圓心，半徑．

（2）解法一：在（1）的結(jié)果中，令，則得圓的方程為，即.

設(shè)，則的面積．

當(dāng)時(shí)，的面積取得最大值8．

此時(shí)，直線的斜率存在，設(shè)其方程為，圓心到直線的距離，整理得，解得．

所以直線的方程為．

（2）解法二：在（1）的結(jié)果中，令，則得圓的方程為，即．

（�。┊�(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線的方程為，可得弦長，所以．

（ⅱ）當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)的方程為，圓心到直線的距離，從而弦長．

所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，的面積取得最大值8．

因?yàn)?/span>，所以面積的最大值為8，此時(shí)，由，解得．所以直線的方程為．