Question

【題目】已知函數(shù)，.

（1）當(dāng)時(shí)，試討論的單調(diào)性；

（2）若對(duì)任意的，方程恒有個(gè)不等的實(shí)根，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1），在單調(diào)遞增，單調(diào)遞減；

，在單調(diào)遞增，單調(diào)遞減；

，在單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，單調(diào)遞增；

，在單調(diào)遞增.

（2）

【解析】

（1）求出，然后對(duì)進(jìn)行分類討論，判斷出的正負(fù)，從而得到的單調(diào)區(qū)間，得到答案；（2）問題等價(jià)于有兩解，令，利用導(dǎo)數(shù)求出，求出其單調(diào)性和極值，結(jié)合圖像得到，過作切線時(shí)，斜率最大，通過導(dǎo)數(shù)求出過一點(diǎn)的切線，得到最大值，從而得到取值范圍.

解：（1）,

（i），令，得到，

解得，（舍）

所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，

所以在單調(diào)遞增，單調(diào)遞減；

（ii），令，得到

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，

所以在單調(diào)遞增，單調(diào)遞減；

（iii），

令，得到，

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，

在單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，單調(diào)遞增；

（iiii），在恒成立，所以在單調(diào)遞增；

綜上所述，

，在單調(diào)遞增，單調(diào)遞減；

，在單調(diào)遞增，單調(diào)遞減；

，在單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，單調(diào)遞增；

，在單調(diào)遞增.

（2）因?yàn)閷?duì)任意的，方程恒有個(gè)不等的實(shí)根

所以將問題等價(jià)于有兩解

令，有，

；在遞增，遞減；

，；

，；

有圖象知要使的圖像和的圖像有兩個(gè)交點(diǎn)，

，過作切線時(shí)，斜率最大.

設(shè)切點(diǎn)為，有，

，

此時(shí)斜率取到最大

.