Question

5．已知圓的方程為x²+y²-8x+15=0，若直線y=kx+2上至少存在一點(diǎn)，使得以該點(diǎn)為圓心，半徑為1的圓與圓C有公共點(diǎn)，則k的最小值是（　�。�

• A． $-\frac{4}{3}$
• B． $-\frac{5}{3}$
• C． $-\frac{3}{5}$
• D． $-\frac{5}{4}$

Answer 1

分析 圓C的圓心為C（4，0），半徑r=1，從而得到點(diǎn)C到直線y=kx+2的距離小于或等于2，由此能求出k的最小值．

解答 解：∵圓C的方程為x²+y²-8x+15=0，
∴整理得：（x-4）²+y²=1，∴圓心為C（4，0），半徑r=1．
又∵直線y=kx+2上至少存在一點(diǎn)，使得以該點(diǎn)為圓心，1為半徑的圓與圓C有公共點(diǎn)，
∴點(diǎn)C到直線y=kx+2的距離小于或等于2，
∴$\frac{|4k-0+2|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$≤2，
化簡(jiǎn)得：3k²+4k≤0，解之得-$\frac{4}{3}$≤k≤0，∴k的最小值是-$\frac{4}{3}$．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查實(shí)數(shù)值的最小值的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意直線與圓相交的性質(zhì)的合理運(yùn)用．