【題目】已知函數(shù)f(x)=ex﹣e﹣x , 下列命題正確的有 . (寫出所有正確命題的編號(hào))
①f(x)是奇函數(shù);
②f(x)在R上是單調(diào)遞增函數(shù);
③方程f(x)=x2+2x有且僅有1個(gè)實(shí)數(shù)根;
④如果對(duì)任意x∈(0,+∞),都有f(x)>kx,那么k的最大值為2.
【答案】①②④
【解析】解:根據(jù)題意,依次分析4個(gè)命題:
對(duì)于①、f(x)=ex﹣e﹣x , 定義域是R,且f(﹣x)=e﹣x﹣ex=﹣f(x),f(x)是奇函數(shù);故①正確;
對(duì)于②、若f(x)=ex﹣e﹣x , 則f′(x)=ex+e﹣x>0,故f(x)在R遞增;故②正確;
對(duì)于③、f(x)=x2+2x,令g(x)=ex﹣e﹣x﹣x2﹣2x,
令x=0可得,g(0)=0,即方程f(x)=x2+2x有一根x=0,
g(3)=e3﹣ ﹣13<0,g(4)=e4﹣ ﹣20>0,
則方程f(x)=x2+2x有一根在(3,4)之間,
故③錯(cuò)誤;
對(duì)于④、如果對(duì)任意x∈(0,+∞),都有f(x)>kx,即ex﹣e﹣x﹣kx>0恒成立,
令h(x)=ex﹣e﹣x﹣kx,且h(0)=0,
若h(x)>0恒成立,則必有h′(x)=ex+e﹣x﹣k>0恒成立,
若ex+e﹣x﹣k>0,即k<ex+e﹣x=ex+ 恒成立,
而ex+ ≥2,若有k<2,
故④正確;
綜合可得:①②④正確;
所以答案是:①②④.
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了命題的真假判斷與應(yīng)用的相關(guān)知識(shí)點(diǎn),需要掌握兩個(gè)命題互為逆否命題,它們有相同的真假性;兩個(gè)命題為互逆命題或互否命題,它們的真假性沒有關(guān)系才能正確解答此題.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】從全校參加數(shù)學(xué)競賽的學(xué)生的試卷中抽取一個(gè)樣本,考察競賽的成績分布情況,將樣本分成5組,繪成頻率分布直方圖,圖中從左到右各小組的小長方形的高之比為1:3:6:4:2,最右邊一組頻數(shù)是6,請(qǐng)結(jié)合直方圖提供的信息,解答下列問題:
(1)樣本的容量是多少?
(2)列出頻率分布表;
(3)估計(jì)這次競賽中,成績高于60分的學(xué)生占總?cè)藬?shù)的百分比;
(4)成績落在哪個(gè)范圍內(nèi)的人數(shù)最多?并求出該小組的頻數(shù),頻率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)求f(2),f(x);
(2)證明:函數(shù)f(x)在[1,17]上為增函數(shù);
(3)試求函數(shù)f(x)在[1,17]上的最大值和最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)離心率為 的橢圓E: + =1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)為F1 , F2 , 點(diǎn)P是E上一點(diǎn),PF1⊥PF2 , △PF1F2內(nèi)切圓的半徑為 ﹣1.
(1)求E的方程;
(2)矩形ABCD的兩頂點(diǎn)C、D在直線y=x+2,A、B在橢圓E上,若矩形ABCD的周長為 ,求直線AB的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】用空間向量解決下列問題:如圖,在斜三棱柱中, 是的中點(diǎn), ⊥平面, , .
(1)求證: ;
(2)求二面角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某公司購買了A,B,C三種不同品牌的電動(dòng)智能送風(fēng)口罩.為了解三種品牌口罩的電池性能,現(xiàn)采用分層抽樣的方法,從三種品牌的口罩中抽出25臺(tái),測試它們一次完全充電后的連續(xù)待機(jī)時(shí)長,統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下(單位:小時(shí)):
A | 4 | 4 | 4.5 | 5 | 5.5 | 6 | 6 | |||
B | 4.5 | 5 | 6 | 6.5 | 6.5 | 7 | 7 | 7.5 | ||
C | 5 | 5 | 5.5 | 6 | 6 | 7 | 7 | 7.5 | 8 | 8 |
(1)已知該公司購買的C品牌電動(dòng)智能送風(fēng)口罩比B品牌多200臺(tái),求該公司購買的B品牌電動(dòng)智能送風(fēng)口罩的數(shù)量;
(2)從A品牌和B品牌抽出的電動(dòng)智能送風(fēng)口罩中,各隨機(jī)選取一臺(tái),求A品牌待機(jī)時(shí)長高于B品牌的概率;
(3)再從A,B,C三種不同品牌的電動(dòng)智能送風(fēng)口罩中各隨機(jī)抽取一臺(tái),它們的待機(jī)時(shí)長分別是a,b,c(單位:小時(shí)).這3個(gè)新數(shù)據(jù)與表格中的數(shù)據(jù)構(gòu)成的新樣本的平均數(shù)記為μ1 , 表格中數(shù)據(jù)的平均數(shù)記為μ0 . 若μ0≤μ1 , 寫出a+b+c的最小值(結(jié)論不要求證明).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓C: 的離心率為 ,右焦點(diǎn)為F,點(diǎn)B(0,1)在橢圓C上.
(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)過點(diǎn) 的直線交橢圓C于M,N兩點(diǎn),交直線x=2于點(diǎn)P,設(shè) , ,求證:λ+μ為定值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn),焦點(diǎn)在軸上,橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離的最大值為3,最小值為1.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)若直線: 與橢圓相交于, 兩點(diǎn)(, 不是左右頂點(diǎn)),且以為直徑的圓過橢圓的右頂點(diǎn).求證:直線過定點(diǎn),并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).
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【題目】設(shè)點(diǎn)M到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離和它到直線l:x=﹣m(m>0)的距離之比是一個(gè)常數(shù) .
(Ⅰ)求點(diǎn)M的軌跡;
(Ⅱ)若m=1時(shí)得到的曲線是C,將曲線C向左平移一個(gè)單位長度后得到曲線E,過點(diǎn)P(﹣2,0)的直線l1與曲線E交于不同的兩點(diǎn)A(x1 , y1),B(x2 , y2),過F(1,0)的直線AF、BF分別交曲線E于點(diǎn)D、Q,設(shè) =α , =β ,α、β∈R,求α+β的取值范圍.
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