Question

12．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n=n-5a_n-85（n∈N^*）．
（1）證明數(shù)列{a_n-1}是等比數(shù)列并求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）令b_n=log${\;}_{\frac{5}{6}}$$\frac{1-{a}_{1}}{18}$+log${\;}_{\frac{5}{6}}$$\frac{1-{a}_{2}}{18}$+…+log${\;}_{\frac{5}{6}}$$\frac{1-{a}_{n}}{18}$，求數(shù)列{$\frac{1}{_{n}}$}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （1）由S_n=n-5a_n-85（n∈N^*）．可得a₁=1-5a₁-85，解得a₁．當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1，化為6a_n+1=5a_n+1，變形為${a}_{n+1}-1=\frac{5}{6}（{a}_{n-1}-1）$，利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出．
（2）由（1）可得：log${\;}_{\frac{5}{6}}$$\frac{1-{a}_{n}}{18}$=n，可得b_n=$\frac{n（n+1）}{2}$.$\frac{1}{_{n}}$=$2（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$．利用“裂項(xiàng)求和”即可得出．

解答 （1）證明：由S_n=n-5a_n-85（n∈N^*）．可得a₁=1-5a₁-85，解得a₁=-14．
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=n-5a_n-85-[（n-1）-5a_n-1-85]，
化為6a_n+1=5a_n+1，
∴${a}_{n+1}-1=\frac{5}{6}（{a}_{n-1}-1）$，
∴數(shù)列{a_n-1}是等比數(shù)列，首項(xiàng)為-15，公比為$\frac{5}{6}$，
∴${a}_{n}-1=-15×（\frac{5}{6}）^{n-1}$，化為a_n=1-$15×（\frac{5}{6}）^{n-1}$．
（2）由（1）可得：log${\;}_{\frac{5}{6}}$$\frac{1-{a}_{n}}{18}$=n，
∴b_n=1+2+…+n=$\frac{n（n+1）}{2}$．
∴$\frac{1}{_{n}}$=$2（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$．
∴T_n=2$[（1-\frac{1}{2}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+…+$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）]$=2$（1-\frac{1}{n+1}）$=$\frac{2n}{n+1}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了遞推式的應(yīng)用、等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式、“裂項(xiàng)求和”，考查了變形能力、推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．