Question

14．已知命題p：y=sin（x-$\frac{π}{2}}$）在（0，π）上是減函數(shù)；命題q：“a=$\sqrt{3}$”是“直線x=$\frac{π}{6}$為曲線f（x）=sinx+acosx的一條對稱軸”的充要條件．則下列命題為真命題的是（　　）

• A． p∧q
• B． ￢p∧￢q
• C． ￢p∧q
• D． p∧￢q

Answer 1

分析 分別判斷出p，q的真假，從而判斷出復(fù)合命題的真假．

解答 解：∵0＜x＜π，∴-$\frac{π}{2}$＜x-$\frac{π}{2}$＜$\frac{π}{2}$，
∴y=sin（x-$\frac{π}{2}}$）在（0，π）上是增函數(shù)，
命題p是假命題；
若a=$\sqrt{3}$，則f（x）=sinx+$\sqrt{3}$cosx=2（$\frac{1}{2}$sinx+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosx）=2sin（x+$\frac{π}{3}$），
對稱軸x+$\frac{π}{3}$=kπ+$\frac{π}{2}$，∴x=kπ+$\frac{π}{6}$，是充分條件，
若直線x=$\frac{π}{6}$為曲線f（x）=sinx+acosx的一條對稱軸，
則f（$\frac{π}{6}$-x）=f（$\frac{π}{6}$+x）  當(dāng)x=$\frac{π}{6}$即f（0）=f（$\frac{π}{3}$）
∴f（0）=a=f（$\frac{π}{3}$）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$+$\frac{a}{2}$，解得a=$\sqrt{3}$，
故命題q是真命題；
則命題￢p∧q是真命題，
故選：C．

點評 本題考查了三角函數(shù)問題，考查復(fù)合命題的真假，是一道基礎(chǔ)題．