F1，F(xiàn)2為雙曲線的左右焦點(diǎn)，P為雙曲線右支上一點(diǎn)，直線F1P與圓x2+y2=a2切于一點(diǎn)E，且，則雙曲線的離心率為（ ）
A．
B．
C．
D．5
【答案】分析：連結(jié)PF2、OE，根據(jù)三角形中位線定理，算出|PF2|=2|OE|=2a．由圓的切線性質(zhì)，得到OE⊥PF1，結(jié)合OE∥PF2得PF2⊥PF1．然后在△PF1F2中利用勾股定理，結(jié)合雙曲線的定義解出c=a，利用雙曲線離心率公式即可算出該雙曲線的離心率．
解答：解：連結(jié)PF2、OE，
∵OE是△PF1F2的中位線，
∴OE∥PF2，且|PF2|=2|OE|=2a
∵直線F1P與圓x2+y2=a2切于一點(diǎn)E
∴OE⊥PF1，可得PF2⊥PF1，
△PF1F2中，|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2，…①
∵根據(jù)雙曲線的定義，得|PF1|-|PF2|=2a
∴|PF1|=|PF2|+2a=4a，代入①得（4a）2+（2a）2=|F1F2|2，
∴（2c）2=|F1F2|2=20a2，解之得c=a
由此可得雙曲線的離心率為e===
故選：B
點(diǎn)評(píng)：本題給出雙曲線的一條焦半徑與以實(shí)軸長(zhǎng)為直徑的圓相切，求雙曲線的離心率．著重考查了雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程與簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，三角形中位線定理和勾股定理等知識(shí)，屬于中檔題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知P為雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0)左支上一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2為雙曲線的左右焦點(diǎn)，且cos∠PF1F2=sin∠PF2F1=
5
5

則此雙曲線離心率是（　　）
A、
5
B、5
C、2
5
D、3

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知點(diǎn)P為雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0）的右支上一點(diǎn)，F(xiàn)1、F2為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，使  (
OP
+
OF2
)•
F2P
=0（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），且|
PF1
|=
3
|
PF2
|，則雙曲線離心率為（　�。�
A、
6
+1
2
B、
6
+1
C、
3
+1
2
D、
3
+1

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知點(diǎn)P為雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0)的右支上一點(diǎn)，F(xiàn)1、F2為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，若(
OP
+
OF2
)•
F2P
=0(O為坐標(biāo)原點(diǎn))，且△PF1F2的面積為2ac（c為雙曲線的半焦距），則雙曲線的離心率為（　　）
A、
2
+1
B、
2
2
+1
C、
3
+1
D、
3
2
+1

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

命題：F1和F2是橢圓的兩焦點(diǎn)，P為橢圓上的點(diǎn)，過F2作∠F1PF2的外角平分線的垂線，垂足為T，則T到橢圓中心的距離為該橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)的一半．經(jīng)證明該命題正確．請(qǐng)你依照該命題研究雙曲線中的情形，寫出類似的正確命題：
F1和F2為雙曲線的兩焦點(diǎn)，P為雙曲線上的點(diǎn)，過F2作∠F1PF2的平分線的垂線，垂足為T則T到雙曲線中心的距離為該雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)的一半
F1和F2為雙曲線的兩焦點(diǎn)，P為雙曲線上的點(diǎn)，過F2作∠F1PF2的平分線的垂線，垂足為T則T到雙曲線中心的距離為該雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)的一半
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)F1、F2為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，P為雙曲線右支上任一點(diǎn)，若
PF12PF2
的最小值恰是實(shí)軸長(zhǎng)的4倍，則該雙曲線離心率的取值范圍是
（1，3]
（1，3]
．

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