Question

17．已知a$\sqrt{1-^{2}}$+b$\sqrt{1-{a}^{2}}$=1，求證：a²+b²=1．

Answer 1

分析 法一、利用柯西不等式即可得出；
法二、構造向量$\overrightarrow{m}=（a，\sqrt{1-{a}^{2}}），\overrightarrow{n}=（\sqrt{1-^{2}}，b）$，利用$|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|≤|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|$中等號成立的條件得答案．

解答 證明：法一、由柯西不等式，得1=a$\sqrt{1-^{2}}$+b$\sqrt{1-{a}^{2}}$≤[a²+（1-a²）][（1-b²）+b²]=1，
當且僅當$\frac{\sqrt{1-{a}^{2}}}=\frac{\sqrt{1-^{2}}}{a}$時，上式取等號，
∴ab=$\sqrt{1-{a}^{2}}\sqrt{1-^{2}}$，化為a²b²=（1-a²）（1-b²），
于是a²+b²=1．
法二、令$\overrightarrow{m}=（a，\sqrt{1-{a}^{2}}），\overrightarrow{n}=（\sqrt{1-^{2}}，b）$，
由$|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|≤|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|$，得1=$a\sqrt{1-^{2}}+b\sqrt{1-{a}^{2}}≤\sqrt{{a}^{2}+1-{a}^{2}}•\sqrt{^{2}+1-^{2}}=1$，
上式中等號成立，∴$ab=\sqrt{1-{a}^{2}}•\sqrt{1-^{2}}$，則a²+b²=1．

點評 本題考查了柯西不等式的應用，考查了利用構造向量法證明不等式，體現(xiàn)了數(shù)學轉化思想方法，是中檔題．