分析 法一、利用柯西不等式即可得出;
法二、構(gòu)造向量$\overrightarrow{m}=(a,\sqrt{1-{a}^{2}}),\overrightarrow{n}=(\sqrt{1-^{2}},b)$,利用$|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|≤|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|$中等號(hào)成立的條件得答案.
解答 證明:法一、由柯西不等式,得1=a$\sqrt{1-^{2}}$+b$\sqrt{1-{a}^{2}}$≤[a2+(1-a2)][(1-b2)+b2]=1,
當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{\sqrt{1-{a}^{2}}}=\frac{\sqrt{1-^{2}}}{a}$時(shí),上式取等號(hào),
∴ab=$\sqrt{1-{a}^{2}}\sqrt{1-^{2}}$,化為a2b2=(1-a2)(1-b2),
于是a2+b2=1.
法二、令$\overrightarrow{m}=(a,\sqrt{1-{a}^{2}}),\overrightarrow{n}=(\sqrt{1-^{2}},b)$,
由$|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|≤|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|$,得1=$a\sqrt{1-^{2}}+b\sqrt{1-{a}^{2}}≤\sqrt{{a}^{2}+1-{a}^{2}}•\sqrt{^{2}+1-^{2}}=1$,
上式中等號(hào)成立,∴$ab=\sqrt{1-{a}^{2}}•\sqrt{1-^{2}}$,則a2+b2=1.
點(diǎn)評(píng) 本題考查了柯西不等式的應(yīng)用,考查了利用構(gòu)造向量法證明不等式,體現(xiàn)了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法,是中檔題.
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A. | 0 | B. | -1 | C. | 1 | D. | ±1 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | y=sin2x | B. | y=cos2πx | C. | y=cos[2(πx-$\frac{π}{4}$)]-$\frac{1}{2}$ | D. | y=tan$\frac{π}{2}$x |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | N(μ,σ2) | B. | N(0,1) | C. | N(μ,$\frac{{σ}^{2}}{n}$) | D. | N(1,1) |
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