Question

7．已知函數f（x）=log_a（x+1），g（x）=log_a（1-x），其中（a＞0且a≠1）．
（1）求函數h（x）=f（x）-g（x）的定義域，并證明h（x）的奇偶性；
（2）根據復合函數單調性理論判斷g（x）的單調性，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）求出h（x）=log_a（x+1）-log_a（1-x），要使h（x）有意義，則$\left\{\begin{array}{l}{x+1＞0}\\{1-x＞0}\end{array}\right.$，這樣即可得出h（x）的定義域，而求h（-x）=-h（x），從而得出h（x）為奇函數；
（2）可令1-x=u，u＞0，從而得出函數u=1-x單調遞減，討論a＞1，和0＜a＜1，從而判斷y=log_au的單調性，這樣根據復合函數的單調性便可得出g（x）的單調性．

解答 解：（1）h（x）=log_a（x+1）-log_a（1-x）；
解$\left\{\begin{array}{l}{x+1＞0}\\{1-x＞0}\end{array}\right.$得，-1＜x＜1；
∴h（x）的定義域為（-1，1）；
h（-x）=log_a（1-x）-log_a（1+x）=-h（x）；
∴函數h（x）為奇函數；
（2）令u=1-x，u＞0，則u在（-∞，1）上單調遞減；
當a＞1時，函數y=log_au在定義域內單調遞增，當0＜a＜1時，函數y=log_au在定義域內單調遞減；
∴當a＞1時，函數g（x）在（-∞，1）上單調遞減，當0＜a＜1時，函數g（x）在（-∞，1）上單調遞增．

點評 考查函數定義域的概念，奇函數的定義及判斷方法，一次函數、對數函數的單調性，以及復合函數的單調性的判斷．