Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=﹣x2+alnx（a∈R）．
（1）當a=2時，求函數(shù)f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；
（2）若函數(shù)g（x）=f（x）﹣2x+2x2 ， 討論函數(shù)g（x）的單調(diào)性；
（3）若（2）中函數(shù)g（x）有兩個極值點x1 ， x2（x1＜x2），且不等式g（x1）≥mx2恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：因為當a=2時，f（x）=﹣x2+2lnx，

所以f′（x）=﹣2x+ ．

因為f（1）=﹣1，f'（1）=0，

所以切線方程為y=﹣1；

（2）解：g（x）=x2﹣2x+alnx的導數(shù)為g′（x）=2x﹣2+ = ，

a≤0，單調(diào)遞增區(qū)間是（ ，+∞）；單調(diào)遞減區(qū)間是（0， ）；

0＜a＜ ，單調(diào)遞增區(qū)間是（0， ），（ ，+∞）；

單調(diào)遞減區(qū)間是（ ， ）；

a≥ ，g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（0，+∞），無單調(diào)遞減區(qū)間；

（3）解：由（2）函數(shù)g（x）有兩個極值點x1，x2（x1＜x2），

0＜a＜ ，x1+x2=1，0＜x1＜ ， ＜x2＜1

=1﹣x1+ +2x1lnx1，

令h（x）=1﹣x+ +2xlnx（0＜x＜ ），h′（x）= +2lnx，

由0＜x＜ ，則 ＜0，

又2lnx＜0，則h′（x）＜0，即h（x）在（0， ）遞減，

即有h（x）＞h（ ）=﹣ ﹣ln2，即m≤﹣ ﹣ln2，

即有實數(shù)m的取值范圍為（﹣∞，﹣ ﹣ln2]

【解析】（1）求當a=2時，函數(shù)的導數(shù)，求得切線的斜率和切點，由點斜式方程即可得到切線方程；（2）求出g（x）的導數(shù)，分類討論，令導數(shù)大于0，得增區(qū)間，令導數(shù)小于0，得減區(qū)間；（3）不等式g（x1）≥mx2恒成立即為 ≥m，求得 =1﹣x1+ +2x1lnx1 ， 令h（x）=1﹣x+ +2xlnx（0＜x＜ ），求出導數(shù)，判斷單調(diào)性，即可得到h（x）的范圍，即可求得m的范圍．
【考點精析】本題主要考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的極值與導數(shù)的相關知識點，需要掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導數(shù)的正負有如下關系： 在某個區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減；求函數(shù)的極值的方法是:（1）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極大值（2）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極小值才能正確解答此題．