Question

8．依次連接正六邊形各邊的中點，得到一個小正六邊形，再依次連接這個小正六邊形各邊的中點，得到一個更小的正六邊形，往原正六邊形內(nèi)隨機(jī)灑一粒種子，則種子落在最小的正六邊形內(nèi)的概率為（　�。�

• A． $\frac{3}{4}$
• B． $\frac{9}{16}$
• C． $\frac{{\sqrt{3}}}{2}$
• D． $\frac{2}{3}$

Answer 1

分析 求出最小的正六邊形A₁B₁C₁D₁E₁F₁的邊長，可得其面積，計算正六邊形ABCDEF的面積，即可求出種子落在最小的正六邊形內(nèi)的概率．

解答 解：如圖，原正六邊形為ABCDEF，最小的正六邊形為A₁B₁C₁D₁E₁F₁，
設(shè)AB=a，由已知得，∠AOB=60°，則∠AOM=$\frac{1}{2}$，∠AOB=30°，
∴OM=OAcos∠AOM=acos30°=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，
即中間正六邊形的邊長OM=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，以此類推，最小的正六邊形A₁B₁C₁D₁E₁F₁的邊長等于$O{B_1}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}OM=\frac{{\sqrt{3}}}{2}•\frac{{\sqrt{3}a}}{2}=\frac{3a}{4}$，
所以由幾何概型得，種子落在最小的正六邊形內(nèi)的概率為$P=\frac{{{S_{正六邊形{A_1}{B_1}{C_1}{D_1}{E_1}{F_1}}}}}{{{S_{正六邊形ABCDEF}}}}=\frac{{\frac{1}{2}•\frac{3a}{4}•\frac{3a}{4}•\frac{{\sqrt{3}}}{2}•6}}{{\frac{1}{2}•a•a•\frac{{\sqrt{3}}}{2}•6}}=\frac{9}{16}$，
故選：B．

點評 本題考查幾何概型，考查概率的計算，正確求面積是關(guān)鍵．