Question

18．已知m＞0，設函數f（x）=e^mx-lnx-2．
（1）若m=1，證明：存在唯一實數$t∈（\frac{1}{2}，1）$，使得f′（t）=0；
（2）若當x＞0時，f（x）＞0，證明：$m＞{e^{-\frac{1}{2}}}$．

Answer 1

分析 （1）m=1時，化簡函數f（x）=e^x-lnx-2，求出函數的導數，判斷函數的單調性，通過f′（$\frac{1}{2}$）＜0，f′（1）＞0，利用零點判定定理證明即可；
（2）求出函數f（x）的導函數，再求出導函數的導數，判斷f′（x）在（0，+∞）上為增函數，結合（1）可求f（x）有最小值f（x₀）=e^t-lnt+lnm-2，進一步得到f（x₀）=$\frac{1}{t}+t-2+lnm$．設h（t）=$\frac{1}{t}+t-2+lnm$，利用導數求其在（$\frac{1}{2}，1$）上的值域（lnm，lnm+$\frac{1}{2}$）．由f（x）＞0恒成立可得lnm+$\frac{1}{2}$＞0成立，從而得到$m＞{e^{-\frac{1}{2}}}$．

解答 證明：（1）當m=1時，f（x）=e^x-lnx-2，f′（x）=e^x-$\frac{1}{x}$，x＞0．
f′（x）在（0，+∞）上單調遞增，又f′（$\frac{1}{2}$）＜0，f′（1）＞0，
故存在唯一實數t∈（$\frac{1}{2}$，1），使得f′（t）=0；
（2）f′（x）=me^mx-$\frac{1}{x}$，f″（x）=${m}^{2}{e}^{mx}+\frac{1}{{x}^{2}}$＞0，
∴f′（x）在（0，+∞）上為增函數，而f′（x）=m（${e}^{mx}-\frac{1}{mx}$），
由（1）得，存在唯一實數mx₀=t∈（$\frac{1}{2}，1$），使得f（x₀）=0．
當x∈（0，x₀）時，f′（x）＜0，當x∈（x₀，+∞）時，f′（x）＞0，
∴f（x）在（0，x₀）上單調遞減，在（x₀，+∞）上單調遞增．
故f（x）有最小值f（x₀）=e^t-lnt+lnm-2．
由（1）得${e}^{t}=\frac{1}{t}$，t=-lnt，
∴f（x₀）=$\frac{1}{t}+t-2+lnm$．
設h（t）=$\frac{1}{t}+t-2+lnm$，當t∈（$\frac{1}{2}，1$）時，h′（t）=$\frac{{t}^{2}-1}{{t}^{2}}$＜0．
h（t）在（$\frac{1}{2}，1$）上單調遞減，
∴f（x₀）=h（t）∈（lnm，lnm+$\frac{1}{2}$）．
∵f（x）＞0恒成立，∴l(xiāng)nm+$\frac{1}{2}$＞0成立，
故m＞${e}^{-\frac{1}{2}}$．

點評 本題考查函數的導數的應用，函數的單調性以及函數的最值的求法，考查轉化思想以及計算能力，屬難題．