Question

7．已知關(guān)于x的方程x²+（a+1）x+a+b+1=0的兩個根分別為α，β，其中α∈（0，1），β∈（1，+∞），則$\frac{b-1}{a+1}$的取值范圍是（　�。�

• A． （-2，0）
• B． （0，2）
• C． （-1，0）
• D． （0，1）

Answer 1

分析 設(shè)f（x）=x²+（a+1）x+a+b+1，則f（0）＞0，f（1）＜0，α+β=-（a+1）＞0，αβ=a+b+1＞0，作出平面區(qū)域，則$\frac{b-1}{a+1}$的范圍就是平面區(qū)域內(nèi)過點（-1，1）的直線的斜率的范圍．

解答 解：設(shè)f（x）=x²+（a+1）x+a+b+1，
則α，β是f（x）=0的零點，
∵α∈（0，1），β∈（1，+∞），
∴f（0）＞0，f（1）＜0，α+β=-（a+1）＞0，αβ=a+b+1＞0，
即$\left\{\begin{array}{l}{a+b+1＞0}\\{2a+b+3＜0}\\{-a-1＞0}\end{array}\right.$，作出平面區(qū)域如圖：
由圖象可知，當(dāng)過（-1，1）的直線平行于2a+b+3=0時，斜率最小為-2，
過（-1，1）的直線與x軸平行時，斜率最大為0．
故選A．

點評 本題考查了二次函數(shù)的零點與系數(shù)的關(guān)系及簡單的線性規(guī)劃，將所求問題轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問題是解題關(guān)鍵，屬于中檔題．