Question

19．已知函數(shù)f（x）=x²+2（a-1）x+12，若g（x）=|f（x）|在區(qū)間（-∞，1）上是減函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-∞，$-\frac{11}{2}$]∪[1-2$\sqrt{3}$，0]∪（1+2$\sqrt{3}$，+∞）．

Answer 1

分析 可畫出g（x）的草圖，根據(jù)草圖可看出：f（x）的圖象和x軸最多一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，△≤0且f（x）的對稱軸x=1-a≥1，這樣可得到一個(gè)a的范圍；而f（x）的圖象和x軸有兩交點(diǎn)時(shí)，△＞0，且方程f（x）=0的小根大于等于1，求出這兩種情況下a的范圍再求并集便可得出實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答 解：g（x）=|x²+2（a-1）x+12|，畫出g（x）的草圖為：
∴看出要使g（x）在區(qū)間（-∞，1）上為減函數(shù)，需滿足：
①△=4（a-1）²-48≤0，即1$-2\sqrt{3}≤a≤1+2\sqrt{3}$時(shí)，$-\frac{2（a-1）}{2}≥1$；
∴$1-2\sqrt{3}≤a≤0$；
②△＞0，即$a＜1-2\sqrt{3}$，或$a＞1+2\sqrt{3}$時(shí)，方程x²+2（a-1）x+12=0的小根大于等于1；
即$\frac{-2（a-1）-\sqrt{4（a-1）^{2}-48}}{2}≤1$；
解得$a≤-\frac{11}{2}$，或a$＞1+2\sqrt{3}$；
∴綜上得實(shí)數(shù)a的取值范圍為$（-∞，-\frac{11}{2}]∪[1-2\sqrt{3}，0]∪（1+2\sqrt{3}，+∞）$．
故答案為：（$-∞，-\frac{11}{2}$]∪[1-2$\sqrt{3}$，0]∪（1+2$\sqrt{3}$，+∞）．

點(diǎn)評 考查數(shù)形結(jié)合解題的方法，清楚f（x）和|f（x）|圖象的關(guān)系，二次函數(shù)f（x）和x軸公共點(diǎn)的情況和判別式△的關(guān)系，以及一元二次方程的求根公式，根據(jù)函數(shù)圖象判斷函數(shù)的單調(diào)性．