Question

設(shè)數(shù)列{a_n}滿(mǎn)足2a_n+1=a_n+a_n+2，n為正整數(shù)，它的前n項(xiàng)和為S_n，且a₃=10，S₆=72．若b_n=

1

2

an-30，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列遞推式

專(zhuān)題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：由已知得數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，由等差數(shù)列的性質(zhì)求出a_n=2+（n-1）×4=4n-2．從而b_n=

1

2

an-30=2n-31．由此能求出n=15時(shí)，數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和的最小值為-225．

解答： 解：∵數(shù)列{a_n}滿(mǎn)足2a_n+1=a_n+a_n+2，n為正整數(shù)，
∴數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，
∵a₃=10，S₆=72，
∴

a1+2d=10 6a1+ 6×5 2 d=72

，
解得a₁=2，d=4，
∴a_n=2+（n-1）×4=4n-2．
b_n=

1

2

an-30=2n-31．
設(shè)數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為S_n，
S_n=2（1+2+3+…+n）-31n
=n²-30n=（n-15）²-225．
∴n=15時(shí)，數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和的最小值為-225．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的前n項(xiàng)和的最小值的求法，是中檔題，解題時(shí)要注意等差數(shù)列的性質(zhì)的合理運(yùn)用．