Question

3．角α頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)O，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，tanα=-2，點(diǎn)P在α的終邊上，點(diǎn)Q（-3，-4），則$\overrightarrow{OP}$與$\overrightarrow{OQ}$夾角余弦值為$\frac{{\sqrt{5}}}{5}$或$-\frac{{\sqrt{5}}}{5}$．

Answer 1

分析 設(shè)出坐標(biāo)根據(jù)向量數(shù)量積的應(yīng)用進(jìn)行求解即可，注意要分類討論．

解答 解：∵角α頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)O，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，tanα=-2，
∴角α對應(yīng)的直線方程為y=-2x，
設(shè)P（x，y），則y=-2x，
則$\overrightarrow{OP}$=（x，-2x），$\overrightarrow{OQ}$=（-3，-4），
則cos＜$\overrightarrow{OP}$，$\overrightarrow{OQ}$＞=$\frac{\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{OQ}}{|\overrightarrow{OP}||\overrightarrow{OQ}|}$=$\frac{-3x+8x}{\sqrt{{x}^{2}+4{x}^{2}}•5}$=$\frac{5x}{5\sqrt{5}|x|}$，
若x＞0，則cos＜$\overrightarrow{OP}$，$\overrightarrow{OQ}$＞=$\frac{5x}{5\sqrt{5}|x|}$=$\frac{5}{5\sqrt{5}}$=$\frac{{\sqrt{5}}}{5}$，
若x＞0，則cos＜$\overrightarrow{OP}$，$\overrightarrow{OQ}$＞=$\frac{5x}{5\sqrt{5}|x|}$=-$\frac{5}{5\sqrt{5}}$=-$\frac{{\sqrt{5}}}{5}$，
故答案為：$\frac{{\sqrt{5}}}{5}$或$-\frac{{\sqrt{5}}}{5}$

點(diǎn)評 本題主要考查向量夾角的余弦值的計(jì)算，設(shè)出坐標(biāo)根據(jù)向量數(shù)量積的應(yīng)用是解決本題的關(guān)鍵．