Question

5．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}-2x+a，x＜0}\\{-{x}^{2}+1+a，x≥0}\end{array}\right.$，且函數(shù)y=f（x）-x恰有3個不同的零點，則實數(shù)a的取值范圍是（　�。�

• A． （0，+∞）
• B． [-1，0）
• C． [-1，+∞）
• D． [-2，+∞）

Answer 1

分析 利用二次函數(shù)的性質(zhì)判斷y=f（x）-x的單調(diào)性，根據(jù)零點個數(shù)判斷y=f（x）-x在各單調(diào)區(qū)間端點的函數(shù)值的符號，列出不等式解出a的范圍．

解答 解：令g（x）=f（x）-x=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}-3x+a，x＜0}\\{-{x}^{2}-x+1+a，x≥0}\end{array}\right.$，
則g（x）在（-∞，-$\frac{3}{2}$）上單調(diào)遞增，在（-$\frac{3}{2}$，0）上單調(diào)遞減，在（0，+∞）上單調(diào)遞減，
∵g（x）有三個不同的零點，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{9}{4}+\frac{9}{2}+a＞0}\\{a＜0}\\{1+a≥0}\end{array}\right.$，解得-1≤a＜0．
故選B．

點評 本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，零點的存在性定理，屬于中檔題．