Question

【題目】設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn（n∈N*），且滿足： ①|(zhì)a1|≠|(zhì)a2|；
②r（n﹣p）Sn+1=（n2+n）an+（n2﹣n﹣2）a1 ， 其中r，p∈R，且r≠0．
（1）求p的值；
（2）數(shù)列{an}能否是等比數(shù)列？請(qǐng)說明理由；
（3）求證：當(dāng)r=2時(shí)，數(shù)列{an}是等差數(shù)列．

Answer 1

【答案】
（1）解：n=1時(shí)，r（1﹣p）（a1+a2）=2a1﹣2a1，其中r，p∈R，且r≠0．又|a1|≠|(zhì)a2|．

∴1﹣p=0，解得p=1

（2）解：設(shè)an=kan﹣1（k≠±1），r（n﹣1）Sn+1=（n2+n）an+（n2﹣n﹣2）a1，∴rS3=6a2，2rS4=12a3+4a1，

化為：r（1+k+k2）=6k，r（1+k+k2+k3）=6k2+2．聯(lián)立解得r=2，k=1（不合題意），舍去，因此數(shù)列{an}不是等比數(shù)列

（3）解：證明：r=2時(shí)，2（n﹣1）Sn+1=（n2+n）an+（n2﹣n﹣2）a1，∴2S3=6a2，4S4=12a3+4a1，6S5=20a4+10a1．

化為：a1+a3=2a2，a2+a4=2a3，a3+a5=2a4．假設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)成等差數(shù)列，公差為d．

則2（n﹣1） =（n2+n）[a1+（n﹣1）d]+（n2﹣n﹣2）a1，化為an+1=a1+（n+1﹣1）d，

因此第n+1項(xiàng)也滿足等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，

綜上可得：數(shù)列{an}成等差數(shù)列

【解析】（1）n=1時(shí)，r（1﹣p）（a1+a2）=2a1﹣2a1 ， 其中r，p∈R，且r≠0．又|a1|≠|(zhì)a2|．可得1﹣p=0，解得p．（2）設(shè)an=kan﹣1（k≠±1），r（n﹣1）Sn+1=（n2+n）an+（n2﹣n﹣2）a1 ， 可得rS3=6a2 ， 2rS4=12a3+4a1 ， 化為：r（1+k+k2）=6k，r（1+k+k2+k3）=6k2+2．聯(lián)立解得r，k，即可判斷出結(jié)論．（3）r=2時(shí)，2（n﹣1）Sn+1=（n2+n）an+（n2﹣n﹣2）a1 ， 可得2S3=6a2 ， 4S4=12a3+4a1 ， 6S5=20a4+10a1 ． 化為：a1+a3=2a2 ， a2+a4=2a3 ， a3+a5=2a4 ． 假設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)成等差數(shù)列，公差為d．利用已知得出an+1 ， 即可證明．
【考點(diǎn)精析】通過靈活運(yùn)用等差關(guān)系的確定和等比關(guān)系的確定，掌握如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)，即－=d ，（n≥2，n∈N）那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列；等比數(shù)列可以通過定義法、中項(xiàng)法、通項(xiàng)公式法、前n項(xiàng)和法進(jìn)行判斷即可以解答此題．