Question

14．在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c．若$bcosC+\frac{c}{{\sqrt{3}}}sinB=a$．
（1）求角B的大小；
（2）若△ABC的面積為$\sqrt{3}$，試求邊b的最小值．

Answer 1

分析 （1）利用正弦定理把已知等式中的邊轉(zhuǎn)化成角的正弦，利用兩角和公式整理可求得tanB的值，結(jié)合角的范圍，進(jìn)而求得B．
（2）根據(jù)三角形面積求得ac的值，利用余弦定理，基本不等式即可解得邊b的最小值．

解答 解：（1）∵$bcosC+\frac{c}{{\sqrt{3}}}sinB=a$．
∴sinBcosC+$\frac{sinCsinB}{\sqrt{3}}$=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC，
∴由sinC≠0，求得tanB=$\sqrt{3}$，
∴由B∈（0，π），可得：B=$\frac{π}{3}$．
（2）S=$\frac{1}{2}$acsinB=$\frac{\sqrt{3}}{4}$ac=$\sqrt{3}$，
∴ac=4，
∴b²=a²+c²-2accosB=a²+c²-ac≥2ac-ac=ac=4，（當(dāng)且僅當(dāng)a=c時(shí)等號(hào)成立），
∴邊b的最小值為2．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，基本不等式的應(yīng)用，正弦定理，余弦定理的在解三角形中的應(yīng)用．解題的關(guān)鍵是利用正弦定理對(duì)邊和角的問題進(jìn)行轉(zhuǎn)換，屬于中檔題．