Question

20．已知函數(shù)$g（x）=\frac{{{4^x}-a}}{2^x}$是奇函數(shù)，f（x）=lg（10^x+1）+bx是偶函數(shù)．
（1）求a和b的值．
（2）說明函數(shù)g（x）的單調(diào)性；若對任意的t∈[0，+∞），不等式g（t²-2t）+g（2t²-k）＞0恒成立，求實數(shù)k的取值范圍．
（3）設(shè)$h（x）=f（x）+\frac{1}{2}x$，若存在x∈（-∞，1]，使不等式g（x）＞h[lg（10a+9）]成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由函數(shù)$g（x）=\frac{{{4^x}-a}}{2^x}$是奇函數(shù)，f（x）=lg（10^x+1）+bx是偶函數(shù)，可得g（0）=0，f（-1）=f（1），進(jìn)而可得a和b的值．
（2）g（x）在（-∞，+∞）單調(diào)遞增，且g（x）為奇函數(shù)．若g（t²-2t）+g（2t²-k）＞0恒成立，則3t²-2t＞k，t∈[0，+∞）恒成立，令F（x）=3t²-2t，求其最值，可得答案；
（3）h（x）=lg（10^x+1），若存在x∈（-∞，1]，使不等式g（x）＞lg（10a+10）成立，則$lg（10a+10）＜\frac{3}{2}=lg{10^{\frac{3}{2}}}={lg^{10\sqrt{10}}}$，解得答案．

解答 解：（1）由g（0）=0得，a=1，
則$g（x）=\frac{{{4^x}-1}}{2^x}$，
經(jīng)檢驗g（x）是奇函數(shù)，
故a=1，
由f（-1）=f（1）得，則$f（x）=lg（{10^x}+1）-\frac{1}{2}x$，
故$b=-\frac{1}{2}$，
經(jīng)檢驗f（x）是偶函數(shù)
∴a=1，$b=-\frac{1}{2}$…（4分） 
 （2）∵$g（x）=\frac{{{4^x}-1}}{2^x}={2^x}-\frac{1}{2^x}$，且g（x）在（-∞，+∞）單調(diào)遞增，且g（x）為奇函數(shù)．
∴由g（t²-2t）+g（2t²-k）＞0恒成立，
得g（t²-2t）＞-g（2t²-k）=g（-2t²+k），
∴t²-2t＞-2t²+k，t∈[0，+∞）恒成立
即3t²-2t＞k，t∈[0，+∞）恒成立
令F（x）=3t²-2t，在[0，+∞）的最小值為$F（\frac{1}{3}）=-\frac{1}{3}$
∴$k＜-\frac{1}{3}$…（9分）
（3）h（x）=lg（10^x+1），
h（lg（10a+9））=lg[10^{lg（10a+9）}+1]=lg（10a+10）
則由已知得，存在x∈（-∞，1]，使不等式g（x）＞lg（10a+10）成立，
而g（x）在（-∞，1]單增，
∴${g_{max}}（x）=g（1）=\frac{3}{2}$
∴$lg（10a+10）＜\frac{3}{2}=lg{10^{\frac{3}{2}}}={lg^{10\sqrt{10}}}$
∴$10a+10＜10\sqrt{10}$
又$a＜\sqrt{10}-1$
又∵$\left\{\begin{array}{l}10a+9＞0\\ 10a+10＞0\end{array}\right.$
∴$a＞-\frac{9}{10}$
∴$-\frac{9}{10}＜a＜\sqrt{10}-1$…（14分）

點評 本題考查的知識點是函數(shù)恒成立問題，函數(shù)的奇偶性，函數(shù)的單調(diào)性，存在性問題，對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，難度中檔．