Question

17．已知數(shù)列{a_n}是以$\frac{1}{2}$為公差的等差數(shù)列，數(shù)列{b_n}的前n項和為S_n，滿足b_n=2sin（πa_n+φ），φ∈（0，$\frac{π}{2}$），則S_n不可能是（　�。�

• A． -1
• B． 0
• C． 2
• D． 3

Answer 1

分析 數(shù)列{a_n}是以$\frac{1}{2}$為公差的等差數(shù)列，可得a_n=a₁+$\frac{1}{2}$（n-1），S_n=b₁+b₂+…+b_n=2sin（πa₁+φ）+$2sin（π{a}_{1}+\frac{π}{2}+φ）$+…+2sin$（π{a}_{1}+\frac{n-1}{2}π+φ）$，φ∈（0，$\frac{π}{2}$），S₄=0．利用其周期性即可得出．

解答 解：數(shù)列{a_n}是以$\frac{1}{2}$為公差的等差數(shù)列，∴a_n=a₁+$\frac{1}{2}$（n-1），
∵b_n=2sin（πa_n+φ）=2sin$（π{a}_{1}+\frac{n-1}{2}π+φ）$，φ∈（0，$\frac{π}{2}$），
∴S_n=b₁+b₂+…+b_n=2sin（πa₁+φ）+$2sin（π{a}_{1}+\frac{π}{2}+φ）$+…+2sin$（π{a}_{1}+\frac{n-1}{2}π+φ）$，φ∈（0，$\frac{π}{2}$），
∴S₄=0．
∴S_4n+1=S₁∈[-2，2]，S_4n+2=S₂=2$\sqrt{2}$sin（πa₁+φ）∈[-2$\sqrt{2}$，2$\sqrt{2}$]，S_4n+3=S₃=2cos（πa₁+φ）∈[-2，2]，S_4n+4=S₄=0．
則S_n不可能是3．
故選：D．

點評 本題考查了等差數(shù)列的通項公式、誘導(dǎo)公式、和差公式、三角函數(shù)的周期性，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．