Question

7．現(xiàn)有半徑為R、圓心角（∠AOB）為90°的扇形材料，要裁剪出一個五邊形工件OECDF，如圖所示．其中E，F(xiàn)分別在OA，OB上，C，D在$\widehat{AB}$上，且OE=OF，EC=FD，∠ECD=∠CDF=90°．記∠COD=2θ，五邊形OECDF的面積為S．
（1）試求S關于θ的函數(shù)關系式；
（2）求S的最大值．

Answer 1

分析 （1）設M是CD中點，連OM，推出∠COM=∠DOM=$\frac{1}{2}∠COD=θ$，MD=Rsinθ，利用△CEO≌△DFO，轉(zhuǎn)化求解∠DFO=$\frac{3π}{4}$，在△DFO中，利用正弦定理$\frac{DF}{sin∠DOF}=\frac{DO}{sin∠DFO}$，求解S=S_△COD+S_ODF+S_OCE=S_△COD+2S_ODF的解析式即可．
（2）利用S的解析式，通過三角函數(shù)的最值求解即可．

解答 解：（1）設M是CD中點，連OM，由OC=OD，可知OM⊥CD，
∠COM=∠DOM=，$\frac{1}{2}∠COD=θ$，MD=Rsinθ，
又OE=OF，EC=FD，OC=OD，可得△CEO≌△DFO，
故∠EOC=∠DOF，可知$∠AOM=∠BOM=\frac{1}{2}∠AOB=\frac{π}{4}$，…（2分）
又DF⊥CD，OM⊥CD，所以MO∥DF，故∠DFO=$\frac{3π}{4}$，
在△DFO中，有$\frac{DF}{sin∠DOF}=\frac{DO}{sin∠DFO}$，
可得$DF=\frac{{Rsin（\frac{π}{4}-θ）}}{{sin\frac{3π}{4}}}=R（cosθ-sinθ）$…（5分）
所以S=S_△COD+S_ODF+S_OCE=S_△COD+2S_ODF=$\frac{1}{2}{R^2}sin2θ+Rsinθ（Rcosθ-Rsinθ）$
=${R^2}sin2θ-{R^2}{sin^2}θ（0＜θ＜\frac{π}{4}）$…（8分）
（2）$S={R^2}sin2θ-\frac{1}{2}{R^2}（1-cos2θ）={R^2}（sin2θ+\frac{1}{2}cos2θ）-\frac{1}{2}{R^2}$…（10分）
=$\frac{{\sqrt{5}}}{2}{R^2}sin（2θ+φ）-\frac{1}{2}{R^2}$（其中$φ=arctan\frac{1}{2}$）                  …（12分）
當$2θ+φ=\frac{π}{2}$，即$θ=\frac{π}{4}-\frac{φ}{2}$時，sin（2θ+φ）取最大值1．
又$\frac{π}{4}-\frac{φ}{2}$$∈（0，\frac{π}{4}）$，所以S的最大值為$\frac{{\sqrt{5}-1}}{2}{R^2}$．                   …（14分）

點評 本題考查函數(shù)與方程的實際應用，三角函數(shù)的最值的求法，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力．