Question

對(duì)稱(chēng)問(wèn)題
①點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，如（x₀，y₀）關(guān)于（a，b）對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為

 

．
②點(diǎn)關(guān)于線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，如（1，2）關(guān)于y=3x對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為

 

．特別地，（x₀，y₀）關(guān)于直線(xiàn)y=x對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)為

 

，（x₀，y₀）關(guān)于直線(xiàn)y=-x對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)為

 

．
③線(xiàn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)：如直線(xiàn)A_x+B_y+C=0關(guān)于點(diǎn)（x₀，y₀）對(duì)稱(chēng)的直線(xiàn)為

 

．
④線(xiàn)關(guān)于線(xiàn)對(duì)稱(chēng)：如：直線(xiàn)Ax+By+C=0關(guān)于直線(xiàn)y=x對(duì)稱(chēng)的直線(xiàn)方程為

 

；直線(xiàn)Ax+By+C=0關(guān)于直線(xiàn)y=-x對(duì)稱(chēng)的直線(xiàn)方程為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：與直線(xiàn)關(guān)于點(diǎn)、直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)的直線(xiàn)方程

專(zhuān)題：直線(xiàn)與圓

分析：利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式、相互垂直的直線(xiàn)斜率之間的關(guān)系（即中心對(duì)稱(chēng)與軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)）即可得出．

解答： 解：①設(shè)（x₀，y₀）關(guān)于（a，b）對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為（x，y），則

a= x+x0 2 b= y+y0 2

，解得x=2a-x₀，y=2b-y₀，∴（x₀，y₀）關(guān)于（a，b）對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為（2a-x₀，2b-y₀）．
②設(shè)（1，2）關(guān)于y=3x對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為（x，y），則

y-2 x-1 ×3=-1 y+2 2 =3× 1+x 2

，解得x=

2

5

，y=

11

5

，因此其對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為(

2

5

，

11

5

)．同理可得特別地，（x₀，y₀）關(guān)于直線(xiàn)y=x對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)為（y₀，x₀），（x₀，y₀）關(guān)于直線(xiàn)y=-x對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)為 （-y₀，-x₀）．
③設(shè)點(diǎn)P（x，y）關(guān)于點(diǎn)（x₀，y₀）對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)在直線(xiàn)Ax+By+C=0上，則A（2x₀-x）+B（2y₀-y）+C=0，即為直線(xiàn)Ax+By+C=0關(guān)于點(diǎn)（x₀，y₀）對(duì)稱(chēng)的直線(xiàn)．
④設(shè)要求的直線(xiàn)上任意一點(diǎn)為P（x，y），由于P（x，y）關(guān)于直線(xiàn)y=x對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)（y，x），∴直線(xiàn)Ax+By+C=0關(guān)于直線(xiàn)y=x對(duì)稱(chēng)的直線(xiàn)方程為Ay+Bx+C=0，
同理可得直線(xiàn)Ax+By+C=0關(guān)于直線(xiàn)y=-x對(duì)稱(chēng)的直線(xiàn)方程為-Ay-Bx+C=0．
故答案分別為：①（2a-x₀，2b-y₀），②(

2

5

，

11

5

)，（y₀，x₀），（-y₀，-x₀），③A（2x₀-x）+B（2y₀-y）+C=0，④Ay+Bx+C=0，-Ay-Bx+C=0．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了中點(diǎn)坐標(biāo)公式、相互垂直的直線(xiàn)斜率之間的關(guān)系、中心對(duì)稱(chēng)與軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．